Le miroir et le tourniquet : maîtres des symétries

Tu t'es déjà regardé dans un miroir ? Ta main droite devient ta main gauche, mais tu restes « toi ». Et quand tu fais tourner une roue de vélo d'un demi-tour, chaque rayon revient à la place d'un autre. Ces deux gestes du quotidien cachent deux notions puissantes des mathématiques : la symétrie axiale (le miroir) et la symétrie centrale (le demi-tour). Aujourd'hui, tu deviens le maître des deux !

1. La symétrie axiale : le miroir

La symétrie axiale, c'est un pliage imaginaire le long d'une droite appelée axe de symétrie. Le point A et son image A' sont comme des jumeaux : si tu plies la feuille le long de l'axe, ils se superposent.

Propriétés à connaître :

• L'axe coupe le segment [AA'] en son milieu et perpendiculairement : c'est la médiatrice de [AA'].
• Un point qui est SUR l'axe est sa propre image.
• La symétrie conserve les longueurs, les angles et les aires. Une figure et son image ont exactement la même « taille ».

Exemple 1 : Le point A est à 3 carreaux à gauche d'un axe vertical. Son symétrique A' sera à 3 carreaux à droite, sur la même ligne horizontale. C'est comme un reflet !

2. La symétrie centrale : le tourniquet

La symétrie centrale, c'est un demi-tour (rotation de 180°) autour d'un point appelé centre de symétrie O.

Propriété clé : Le centre O est le milieu du segment [AA']. Autrement dit, A, O et A' sont alignés, et O est pile au milieu.

La symétrie centrale conserve aussi les longueurs, les angles et les aires. Mais attention : contrairement au miroir, la figure image est « retournée » comme si on l'avait fait pivoter.

Exemple 2 : Le point B est à 2 carreaux à droite et 1 carreau en haut de O. Son symétrique B' sera à 2 carreaux à gauche et 1 carreau en bas de O. On fait l'inverse dans les deux directions !

3. Reconnaître grâce aux figures

Certaines figures ont des symétries qui aident à les reconnaître :

• Le parallélogramme a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales. Ses diagonales se coupent en leur milieu.
• Le rectangle et le losange ont EN PLUS des axes de symétrie.
• Un triangle isocèle a un axe de symétrie (la médiatrice de sa base) ; un triangle équilatéral en a trois.

Exemple 3 : Tu veux savoir si un quadrilatère est un parallélogramme ? Vérifie si ses diagonales se coupent en leur milieu. Si oui, c'est gagné : chaque sommet est le symétrique du sommet opposé par rapport au centre !

À retenir

• Symétrie axiale = miroir : l'axe est la médiatrice de [AA'].
• Symétrie centrale = demi-tour : le centre O est le milieu de [AA'].
• Les deux symétries conservent longueurs, angles et aires.
• Un parallélogramme a un centre de symétrie ; le rectangle et le losange ont aussi des axes.
• Un point sur l'axe (ou le centre lui-même) est son propre symétrique.

Corrections

Exercice 1 : A' est à 4 carreaux à droite de l'axe, sur la même ligne horizontale que A. L'axe est la médiatrice de [AA'] : A et A' sont à égale distance de l'axe.

Exercice 2 : On fait l'inverse dans les deux directions : M' est à 3 carreaux à gauche et 2 carreaux en haut de O. O est le milieu de [MM'].

Exercice 3 : Le symétrique de A est C. Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu, donc O est le milieu de [AC] : A et C sont symétriques par rapport à O.

Bravo, tu manies maintenant le miroir et le tourniquet comme un pro !