Boîte de céréales et boîte de conserve : dessiner, déplier et remplir les solides

Ouvre le placard de la cuisine. La boîte de céréales est un pavé droit. La boîte de conserve est un cylindre. La barre de chocolat triangulaire, celle en forme de toit, est un prisme droit. Trois objets, trois solides, et une même question que se posent les fabricants : combien de carton pour les fabriquer (le patron) et combien de produit peut-on mettre dedans (le volume) ? Et une question pour toi : comment les dessiner sur une feuille plate alors qu'ils ont trois dimensions ?

Prisme droit et cylindre : qui est qui ?

Un prisme droit est un solide qui a :

• deux bases : deux polygones identiques et parallèles (deux triangles, deux pentagones, deux rectangles…) ;
• des faces latérales qui sont toutes des rectangles, perpendiculaires aux bases.

La hauteur du prisme est la distance entre les deux bases. Un pavé droit est un prisme droit dont les bases sont des rectangles. Un prisme à base triangulaire a 5 faces (2 triangles + 3 rectangles), 9 arêtes et 6 sommets.

Un cylindre de révolution est un solide qui a deux bases en forme de disques identiques et parallèles, reliés par une surface courbe. Sa hauteur est la distance entre les deux disques, son rayon est celui des disques.

Dessiner en perspective cavalière

Pour représenter un solide sur une feuille, on utilise la perspective cavalière, avec trois règles :

1. la face de devant est dessinée en vraie grandeur (vraies longueurs, vrais angles) ;
2. les arêtes qui « partent vers le fond », appelées fuyantes, sont dessinées obliques (souvent à 45°) et raccourcies, en général de moitié ;
3. les arêtes cachées sont tracées en pointillés, et les arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin.

Exemple travaillé : dessiner un pavé droit de 6 cm de long, 4 cm de haut et 3 cm de profondeur. Je trace d'abord le rectangle de devant, 6 cm sur 4 cm, en vraie grandeur. De chacun de ses quatre sommets, je trace une fuyante oblique de 1,5 cm (la moitié de 3 cm). Je relie les extrémités : j'obtiens le rectangle du fond, lui aussi de 6 cm sur 4 cm. Les trois arêtes qui ne se voient pas (une fuyante et deux côtés du rectangle du fond) sont en pointillés.

Pour un cylindre debout, les bases deviennent des ovales aplatis, et on trace deux verticales pour la surface latérale.

Construire un patron

Le patron est le dessin « à plat » qu'on découpe et qu'on plie pour fabriquer le solide. C'est exactement ce que fait l'usine qui fabrique les boîtes.

Patron d'un prisme à base triangulaire : deux triangles identiques (les bases) et trois rectangles (les faces latérales). Chaque rectangle a pour largeur un côté du triangle et pour longueur la hauteur du prisme. Les trois rectangles se dessinent côte à côte, en une bande ; les triangles s'accrochent en haut et en bas.

Patron d'un cylindre : deux disques et un rectangle. Oui, un rectangle ! Déroule l'étiquette d'une boîte de conserve : c'est un rectangle dont la hauteur est celle de la boîte, et dont la longueur fait exactement le tour du disque, c'est-à-dire le périmètre du cercle, 2 × π × rayon.

Exemple travaillé : patron d'un cylindre de rayon 4 cm et de hauteur 10 cm. Les deux disques ont un rayon de 4 cm. Le rectangle mesure 10 cm sur 2 × π × 4 = 8π ≈ 25,1 cm. Si tu le fabriques en papier, tu verras le rectangle s'enrouler pile autour des disques.

Calculer le volume

Le volume mesure la place qu'un solide occupe, en unités cubes : cm³, dm³, m³. Un cube de 1 cm d'arête a un volume de 1 cm³.

Pour un prisme droit comme pour un cylindre, une seule formule :

Volume = aire de la base × hauteur

L'idée : on « empile » des tranches identiques à la base sur toute la hauteur.

• Pavé droit : base rectangle, donc V = longueur × largeur × hauteur.
• Prisme à base triangulaire : V = aire du triangle × hauteur.
• Cylindre : base disque d'aire π × r², donc V = π × r² × h.

Exemple travaillé 1 : prisme droit dont la base est un triangle rectangle de côtés 3 cm et 4 cm (autour de l'angle droit), hauteur 10 cm. Aire de la base : 3 × 42 = 6 cm². Volume : 6 × 10 = 60 cm³.

Exemple travaillé 2 : boîte de conserve de rayon 5 cm et de hauteur 12 cm. Aire de la base : π × 5² = 25π cm². Volume : 25π × 12 = 300π cm³, soit environ 942 cm³ en prenant π ≈ 3,14. (Et comme 1 cm³ = 1 mL, cette boîte contient à peu près 0,94 L : regarde l'étiquette d'une boîte de ta cuisine, tu trouveras souvent 850 mL pour des dimensions proches.)

Attention aux unités : si les longueurs sont en cm, le volume sort en cm³ ; si elles sont en m, il sort en m³. Ne mélange jamais des cm et des m dans la même formule.

À retenir

• Prisme droit : deux bases polygonales identiques et des faces latérales rectangulaires. Cylindre : deux disques et une surface courbe.
• Perspective cavalière : face avant en vraie grandeur, fuyantes obliques et raccourcies, arêtes cachées en pointillés.
• Patron du cylindre : deux disques et un rectangle de longueur 2 × π × r.
• Volume = aire de la base × hauteur. Pour le cylindre : π × r² × h.
• Les longueurs en cm donnent un volume en cm³.

★ Pour aller plus loin

Pourquoi les boîtes de conserve sont-elles des cylindres et pas des cubes ? Parce qu'à volume égal, le cylindre demande moins de métal qu'un pavé, résiste mieux à la pression et roule sur les chaînes de fabrication. Les mathématiciens ont même calculé la forme de boîte la plus économique : un cylindre dont la hauteur est égale au diamètre.

Le mot « perspective cavalière » viendrait des « cavaliers », des buttes de terre surélevées d'où les ingénieurs militaires observaient les fortifications. Les peintres de la Renaissance, eux, ont préféré la perspective avec point de fuite, où les objets rétrécissent avec la distance : plus réaliste, mais les mesures ne se lisent plus directement.

Archimède, au IIIe siècle avant notre ère, a démontré que le volume d'une sphère vaut exactement les deux tiers du volume du cylindre qui l'entoure au plus juste. Il en était si fier qu'il a demandé qu'on grave cette figure sur sa tombe.

Sources pour creuser

• Livre : Le grand roman des maths de Mickaël Launay (Flammarion) — avec le récit d'Archimède et de ses volumes.
• Chaîne YouTube Yvan Monka (Maths et tiques) : cherche « Perspective cavalière – Cinquième », « Patron d'un cylindre » et « Volume d'un prisme et d'un cylindre ».
• Chaîne YouTube Hedacademy : cherche « volume cylindre 5ème ».
• Logiciel gratuit GeoGebra (geogebra.org), version 3D : tourne un prisme ou un cylindre dans tous les sens.
• lumni.fr : cherche « prisme cylindre volume ».