À égale distance : médiatrices, hauteurs et le cercle qui passe par trois sommets

Trois amis habitent dans trois maisons différentes et veulent construire une cabane exactement à la même distance de chacun, pour que personne ne soit avantagé. Où la placer ? Si tu dessines les trois maisons comme les sommets d'un triangle, la réponse est un point très précis, et ce cours t'apprend à le trouver avec une règle, une équerre et un compas.

La médiatrice d'un segment

La médiatrice d'un segment [AB] est la droite qui est perpendiculaire à [AB] et qui passe par son milieu.

Elle a une propriété formidable, qu'on appelle sa propriété caractéristique :

Un point est sur la médiatrice de [AB] si, et seulement si, il est à égale distance de A et de B.

Cela se lit dans les deux sens :

• si M est sur la médiatrice de [AB], alors MA = MB ;
• si MA = MB, alors M est sur la médiatrice de [AB].

Construction au compas (sans mesurer le milieu !) : tu ouvres ton compas à plus de la moitié de AB, tu traces un arc de cercle centré en A, puis un arc de même rayon centré en B. Les deux arcs se coupent en deux points, qui sont chacun à égale distance de A et de B. La droite qui passe par ces deux points est la médiatrice. C'est la propriété caractéristique qui garantit que la construction est juste.

Exemple travaillé : M est sur la médiatrice de [AB] et MA = 5 cm. Que vaut MB ? Réponse : 5 cm, sans rien mesurer, grâce à la propriété. À l'inverse, si NA = 4 cm et NB = 6 cm, N n'est pas sur la médiatrice.

Les trois médiatrices et le cercle circonscrit

Trace un triangle ABC, puis les médiatrices de ses trois côtés. Surprise : elles se coupent toutes les trois en un même point, qu'on note souvent O. Pourquoi ?

• O est sur la médiatrice de [AB], donc OA = OB.
• O est sur la médiatrice de [BC], donc OB = OC.
• Donc OA = OB = OC : O est à égale distance des trois sommets, et il est forcément sur la troisième médiatrice aussi.

Comme OA = OB = OC, le cercle de centre O et de rayon OA passe par A, B et C. C'est le cercle circonscrit au triangle. En pratique, deux médiatrices suffisent pour trouver O ; la troisième sert à vérifier.

Exemple travaillé : trace un triangle ABC avec AB = 8 cm, AC = 6 cm et BC = 7 cm. Construis les médiatrices de [AB] et de [AC] : elles se coupent en O, à l'intérieur du triangle. Pique le compas en O, ouvre-le jusqu'à A et trace le cercle : il passe aussi par B et par C. Le rayon mesure environ 4,1 cm. C'est l'emplacement de la cabane des trois amis !

Selon la forme du triangle, O change de place : à l'intérieur si tous les angles sont aigus, sur l'hypoténuse (pile en son milieu) si le triangle est rectangle, à l'extérieur si un angle est obtus.

Les hauteurs d'un triangle

Une hauteur d'un triangle est la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Le point où elle touche le côté opposé s'appelle le pied de la hauteur. Un triangle a trois hauteurs, une par sommet.

Ne confonds pas : la médiatrice passe par le milieu d'un côté (et pas forcément par un sommet), la hauteur passe par un sommet (et pas forcément par le milieu). Les deux sont perpendiculaires à un côté.

Construction : place le côté de l'équerre le long de [BC], fais-la glisser jusqu'à ce que l'autre côté passe par A, et trace.

Les trois hauteurs se coupent aussi en un seul point. Et dans un triangle qui a un angle obtus, il faut parfois prolonger un côté pour que la hauteur le rencontre : le pied est alors en dehors du triangle. Rien d'anormal.

Exemple travaillé : dans un triangle ABC rectangle en A, le côté [AB] est perpendiculaire à [AC]. La hauteur issue de B est donc tout simplement la droite (BA), et la hauteur issue de C est la droite (CA). Seule la hauteur issue de A demande une construction.

La hauteur sert aussi à calculer l'aire : aire = base × hauteur2. Avec BC = 10 cm et une hauteur issue de A de 6 cm, l'aire vaut 10 × 62 = 30 cm².

Justifier avec la médiatrice

En géométrie, « voir » ne suffit pas : il faut justifier. Modèle de rédaction : « O est sur la médiatrice de [AB]. Or, tout point de la médiatrice d'un segment est à égale distance de ses extrémités. Donc OA = OB. » Ou dans l'autre sens : « PA = PB. Or, un point à égale distance des extrémités d'un segment est sur sa médiatrice. Donc P est sur la médiatrice de [AB]. »

À retenir

• La médiatrice de [AB] est perpendiculaire à [AB] en son milieu ; un point est dessus si et seulement s'il est à égale distance de A et de B.
• Les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un point O, centre du cercle circonscrit, qui passe par les trois sommets.
• Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.
• Une hauteur passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé ; elle sert à calculer l'aire.
• Pour justifier une égalité de longueurs, on cite la propriété caractéristique de la médiatrice.

★ Pour aller plus loin

Le point où se coupent les trois hauteurs porte un nom : l'orthocentre. Celui où se coupent les trois médianes (droites joignant un sommet au milieu du côté opposé) est le centre de gravité : si tu découpes le triangle dans du carton et que tu le poses sur une pointe à cet endroit, il tient en équilibre. Enfin, les trois bissectrices se coupent au centre du cercle inscrit, qui touche les trois côtés de l'intérieur.

Plus fort encore : dans n'importe quel triangle, l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit sont alignés sur une même droite, appelée droite d'Euler, du nom du mathématicien suisse Leonhard Euler qui l'a démontré au XVIIIe siècle. Dans un triangle équilatéral, ces trois points sont confondus.

Sources pour creuser

• Livre : Le grand roman des maths de Mickaël Launay (Flammarion) — pour la géométrie des Grecs, Thalès et Euclide.
• Chaîne YouTube Yvan Monka (Maths et tiques) : cherche « Médiatrice d'un segment – Cinquième », « Cercle circonscrit » et « Hauteurs d'un triangle ».
• Chaîne YouTube Hedacademy : cherche « médiatrice hauteur triangle 5ème ».
• Logiciel gratuit GeoGebra (geogebra.org) : trace un triangle, ses médiatrices, et déplace les sommets pour voir le centre bouger.
• lumni.fr : cherche « triangle médiatrice collège ».