Pile, face et dé à six faces : apprivoiser le hasard

« Pile ou face ? » Tu lances la pièce pour savoir qui commence la partie. Personne ne peut prédire le résultat, et pourtant tout le monde accepte le verdict, parce que chacun a « une chance sur deux ». Tu lances ensuite un dé pour avancer ton pion : six résultats possibles, aucun moyen de savoir lequel va sortir. Ces situations, où l'on connaît tous les résultats possibles sans pouvoir dire lequel arrivera, sont le terrain de jeu des probabilités.

Décrire une expérience aléatoire

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat, mais dont on connaît tous les résultats possibles. Chaque résultat possible s'appelle une issue.

• Lancer une pièce : 2 issues, pile et face.
• Lancer un dé à six faces : 6 issues, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Tirer une bille au hasard dans un sac qui contient des billes rouges, vertes et jaunes : 3 issues, rouge, verte, jaune.

Un événement est un ensemble d'issues, une « phrase » qui peut se réaliser ou non. Avec un dé, l'événement « obtenir un nombre pair » est réalisé par les issues 2, 4 et 6. L'événement « obtenir plus de 4 » est réalisé par 5 et 6. L'événement « obtenir 7 » n'est réalisé par aucune issue : il est impossible. L'événement « obtenir un nombre entre 1 et 6 » est réalisé à chaque lancer : il est certain.

La probabilité, une fréquence qui se stabilise

Lance une pièce 10 fois et compte les « pile ». Tu peux obtenir 3, 6, ou même 8 : avec si peu de lancers, tout est possible. Maintenant lance-la 100 fois : tu obtiendras sans doute entre 40 et 60 « pile ». Lance-la 10 000 fois (des mathématiciens patients l'ont fait !), et la fréquence des « pile », c'est-à-dire le nombre de « pile » divisé par le nombre de lancers, sera très proche de 0,5.

C'est la grande idée : quand on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence d'un événement se stabilise autour d'un nombre fixe. Ce nombre est la probabilité de l'événement.

La probabilité est toujours un nombre compris entre 0 et 1. Un événement impossible a une probabilité 0, un événement certain a une probabilité 1. On peut l'écrire en fraction, en décimal ou en pourcentage : 12 = 0,5 = 50 %.

Calculer une probabilité quand toutes les issues ont la même chance

Quand toutes les issues ont exactement la même chance de se produire (pièce équilibrée, dé non truqué, billes de même taille bien mélangées), on dit qu'il y a équiprobabilité. Dans ce cas, le calcul est simple :

probabilité d'un événement = nombre d'issues qui réalisent l'événementnombre total d'issues

Exemple travaillé 1 : avec un dé, quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ? Issues favorables : 2, 4, 6, soit 3 issues. Issues possibles : 6. Probabilité = 36 = 12.

Exemple travaillé 2 : un sac contient 5 billes rouges et 3 billes bleues. On en tire une au hasard. Probabilité de tirer une rouge ? Il y a 8 billes en tout, donc 8 issues équiprobables (chaque bille a la même chance). 5 sont rouges. Probabilité = 58, soit 0,625. Et la probabilité de tirer une bleue est 38. Remarque : 58 + 38 = 1, car on est certain de tirer une rouge ou une bleue.

Le piège du « c'est mon tour d'avoir de la chance »

Le dé n'a pas de mémoire. Si tu viens de faire cinq fois « pile » de suite, la probabilité de faire « pile » au sixième lancer est toujours 12. Le hasard ne « rattrape » rien à court terme : c'est seulement sur des milliers de lancers que les fréquences se rapprochent des probabilités.

À retenir

• Une expérience aléatoire a plusieurs issues possibles ; un événement est réalisé par certaines de ces issues.
• La probabilité d'un événement est le nombre vers lequel sa fréquence se stabilise quand on répète l'expérience un très grand nombre de fois.
• Une probabilité est toujours comprise entre 0 (impossible) et 1 (certain).
• En cas d'équiprobabilité : probabilité = nombre d'issues favorables ÷ nombre total d'issues.
• Le hasard n'a pas de mémoire : chaque lancer repart de zéro.

★ Pour aller plus loin

Les probabilités sont nées d'une question de jeu. En 1654, le chevalier de Méré, un joueur passionné, demande au mathématicien Blaise Pascal comment partager équitablement les mises d'une partie interrompue. Pascal en discute par lettres avec Pierre de Fermat, et de cet échange naît une nouvelle branche des mathématiques.

Aujourd'hui, les probabilités servent partout : la météo annonce « 70 % de risque de pluie », les assurances calculent le prix d'un contrat d'après la probabilité d'un accident, les médecins évaluent l'efficacité d'un traitement, et les jeux vidéo tirent au hasard les objets que tu trouves.

Une curiosité pour finir : dans une classe de 23 élèves, la probabilité que deux élèves au moins fêtent leur anniversaire le même jour dépasse 12. Cela paraît impossible, et pourtant le calcul le prouve. C'est le « paradoxe des anniversaires ».

Sources pour creuser

• Livre : Le grand roman des maths de Mickaël Launay (Flammarion) — avec un passage sur Pascal, Fermat et la naissance des probabilités.
• Chaîne YouTube Yvan Monka (Maths et tiques) : cherche « Probabilités – Cinquième » et « Calculer une probabilité ».
• Chaîne YouTube Micmaths (Mickaël Launay) : cherche « paradoxe des anniversaires ».
• Chaîne YouTube Science étonnante (David Louapre) : plusieurs vidéos sur le hasard et les probabilités, pour les curieux.
• Site maths-et-tiques.fr : fiches de cours et exercices corrigés sur les probabilités.
• lumni.fr : cherche « probabilités collège ».