La lettre qui cache un nombre : fabrique tes premières formules

Tu veux acheter des cahiers à 3 € pièce, mais tu ne sais pas encore combien. Deux ? Cinq ? Dix ? Au lieu de refaire le calcul à chaque fois, tu peux écrire une seule phrase qui marche pour tous les cas : « le prix, c'est 3 fois le nombre de cahiers ». En mathématiques, on remplace « le nombre de cahiers » par une lettre, par exemple n, et on écrit : prix = 3 × n. Cette lettre, c'est une case vide qui attend un nombre. Bienvenue dans le calcul littéral.

Traduire une situation par une expression

Une expression littérale est un calcul dans lequel une ou plusieurs lettres remplacent des nombres qu'on ne connaît pas encore (ou qui peuvent changer).

Quelques traductions à connaître :

• « le double de x » s'écrit 2 × x ;
• « le triple de a » s'écrit 3 × a ;
• « un nombre y augmenté de 7 » s'écrit y + 7 ;
• « un nombre t diminué de 4 » s'écrit t − 4 ;
• « le carré de x » s'écrit x × x, noté x².

Règle d'écriture : on ne note pas le signe × entre un nombre et une lettre, ni entre deux lettres. 3 × n s'écrit 3n, a × b s'écrit ab, et 1 × x s'écrit simplement x. Le nombre se place toujours devant la lettre : on écrit 5x, jamais x5. Attention : le signe × reste obligatoire entre deux nombres, 3 × 4 ne devient pas 34 !

Exemple travaillé : un rectangle a pour largeur x cm et pour longueur x + 3 cm (3 cm de plus que la largeur). Son périmètre vaut 2 × largeur + 2 × longueur, soit 2x + 2(x + 3). Son aire vaut largeur × longueur, soit x(x + 3). Deux formules, valables quel que soit le rectangle de cette famille.

Substituer : remplacer la lettre par un nombre

Substituer, c'est donner à la lettre une valeur précise, puis calculer. On remet les signes × qui étaient cachés.

Exemple travaillé : calculer A = 4x + 3 pour x = 5. A = 4 × 5 + 3 = 20 + 3 = 23. Et pour x = 2,5 ? A = 4 × 2,5 + 3 = 10 + 3 = 13.

Attention aux priorités : dans 4x + 3, on fait d'abord la multiplication, puis l'addition. Et si l'expression est 2(x + 3) avec x = 5, on calcule d'abord la parenthèse : 2 × (5 + 3) = 2 × 8 = 16.

Tester une égalité

Une égalité comme 3x + 2 = 14 n'est pas forcément vraie pour toutes les valeurs de x. Tester l'égalité pour une valeur, c'est calculer séparément le membre de gauche et le membre de droite, puis regarder s'ils sont égaux.

Exemple travaillé : l'égalité 3x + 2 = 14 est-elle vraie pour x = 4 ?

• Membre de gauche : 3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14.
• Membre de droite : 14.
• Les deux valent 14 : l'égalité est vraie pour x = 4.

Et pour x = 5 ? Gauche : 3 × 5 + 2 = 17. Droite : 14. 17 ≠ 14 : l'égalité est fausse pour x = 5.

Tester, c'est ce que tu feras en Quatrième pour vérifier la solution d'une équation. Ici, on se contente de dire si une valeur « marche » ou non.

Réduire une expression

Réduire, c'est écrire une expression avec le moins de termes possible, en regroupant ceux qui se ressemblent.

• 4x + 3x = 7x (quatre « paquets de x » plus trois « paquets de x », cela fait sept paquets).
• 5a + 2 + 3a = 8a + 2 (on regroupe les a entre eux ; le 2 reste seul, il n'a pas de lettre).
• 6y − 2y + 4 = 4y + 4.
• 2 × x × 5 = 10x (on multiplie les nombres entre eux : 2 × 5 = 10).

Piège classique : 3x + 2 ne se réduit pas en 5x. Trois cahiers plus deux euros, ça ne fait pas cinq quelque chose ! On ne peut regrouper que les termes qui ont exactement la même lettre.

Exemple travaillé : réduire le périmètre du rectangle de tout à l'heure, 2x + 2(x + 3). Le modèle de l'aire (voir l'illustration) montre que 2(x + 3) = 2x + 6. Donc le périmètre vaut 2x + 2x + 6 = 4x + 6. Pour x = 4, on trouve 4 × 4 + 6 = 22 cm. Vérification directe : largeur 4, longueur 7, périmètre 2 × 4 + 2 × 7 = 8 + 14 = 22. Les deux chemins donnent le même résultat, c'est bon signe.

À retenir

• Une expression littérale traduit une situation avec des lettres qui remplacent des nombres ; 3 × n s'écrit 3n, 1 × x s'écrit x.
• Substituer = remplacer la lettre par un nombre, remettre les × cachés et calculer en respectant les priorités.
• Tester une égalité = calculer chaque membre séparément et comparer ; l'égalité est vraie ou fausse pour cette valeur.
• Réduire = regrouper les termes qui ont la même lettre ; 3x + 2 ne se réduit pas.

★ Pour aller plus loin

Le mot « algèbre » vient de l'arabe al-jabr, un terme utilisé par le mathématicien Al-Khwarizmi à Bagdad, vers 820 de notre ère, dans un livre sur la résolution des équations. À l'époque, tout s'écrivait en phrases : « la chose plus dix égale… ». Les lettres comme x ne sont apparues qu'au XVIIe siècle, avec le Français François Viète puis René Descartes. C'est Descartes qui a pris l'habitude de noter les inconnues avec les dernières lettres de l'alphabet, x, y, z, d'où notre fameux x.

Les formules littérales sont partout autour de toi. Dans un tableur, la cellule « =B2*3 » est exactement l'expression 3n avec n dans la case B2. En programmation, une variable est une lettre qui change de valeur au fil du programme. Et en physique, la célèbre formule E = mc² est une expression littérale avec trois lettres.

Sources pour creuser

• Livre : Le grand roman des maths de Mickaël Launay (Flammarion) — le chapitre sur Al-Khwarizmi et la naissance de l'algèbre.
• Chaîne YouTube Yvan Monka (Maths et tiques) : cherche « Calcul littéral – Cinquième » et « Réduire une expression littérale ».
• Chaîne YouTube Hedacademy : cherche « expression littérale 5ème ».
• Site maths-et-tiques.fr : fiches de cours et exercices corrigés, gratuitement.
• lumni.fr : cherche « calcul littéral collège » pour des vidéos courtes.