Une pizza, un partage et une barre : les fractions sont des divisions

Samedi soir, pizza. Vous êtes quatre et il y a trois pizzas. Ta petite sœur demande : « Ça fait combien chacun ? » Tu réponds sans réfléchir : « Trois quarts de pizza. » Tu viens de faire une division : 3 ÷ 4. Et tu as écrit le résultat sous la forme d'une fraction : 34. Sans le savoir, tu as déjà compris l'idée centrale de ce cours.

Une fraction, c'est un quotient

Le nombre 34 est le nombre qui, multiplié par 4, donne 3. On dit que c'est le quotient de 3 par 4. Autrement dit :

34 = 3 ÷ 4 = 0,75

Vérifie : 0,75 × 4 = 3. Ça marche !

Le nombre du haut s'appelle le numérateur (ce qu'on partage), celui du bas le dénominateur (en combien de parts égales on partage).

Parfois, la division « tombe juste » : 72 = 3,5 ; 58 = 0,625. Parfois non : 13 = 0,333 333… avec des 3 à l'infini. Dans ce cas, la fraction 13 est la seule écriture exacte du nombre. C'est pour ça que les fractions sont indispensables : elles permettent d'écrire exactement des nombres que les décimaux ne savent pas écrire.

Des fractions égales : la simplification

Reprends la pizza. Si tu la coupes en 8 parts et que tu en manges 6, tu as mangé 68. Si tu la coupes en 4 parts et que tu en manges 3, tu as mangé 34. Regarde bien : c'est exactement la même quantité de pizza.

68 = 34

Règle d'or : quand on multiplie (ou divise) le numérateur ET le dénominateur par le même nombre non nul, la fraction ne change pas de valeur.

Exemple travaillé : simplifier 1218.

• 12 et 18 sont dans la table de 2 : 1218 = 69.
• 6 et 9 sont dans la table de 3 : 69 = 23.
• 2 et 3 n'ont plus de diviseur commun à part 1 : on s'arrête. 1218 = 23, et cette fraction est dite irréductible.

Comparer deux fractions

Même dénominateur : c'est facile, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. 57 > 37 (cinq parts de la même taille, c'est plus que trois).

Même numérateur : attention, piège ! 34 > 310, car un quart de pizza est plus gros qu'un dixième de pizza. Plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites.

Dénominateurs différents : on les met au même dénominateur.

Exemple travaillé : qui est le plus grand, 23 ou 34 ?

• 3 × 4 = 12 : je choisis 12 comme dénominateur commun.
• 23 = 2 × 43 × 4 = 812
• 34 = 3 × 34 × 3 = 912
• 8 < 9, donc 23 < 34.

Autre méthode toujours possible : comparer les quotients décimaux. 2 ÷ 3 ≈ 0,67 et 3 ÷ 4 = 0,75. Même conclusion.

Placer une fraction sur une droite graduée

Trace une droite, place 0 et 1. Pour placer 74 :

• le dénominateur 4 dit en combien on coupe chaque unité : 4 graduations entre 0 et 1, puis 4 entre 1 et 2 ;
• le numérateur 7 dit combien de graduations on compte depuis 0.

Tu arrives entre 1 et 2, à la troisième graduation après 1 : en effet 74 = 1 + 34 = 1,75.

Exemple travaillé : placer 52 et 32 sur la même droite. On coupe chaque unité en 2. 32 = 1,5 est pile entre 1 et 2 ; 52 = 2,5 est pile entre 2 et 3. Et on lit directement sur la droite que 32 < 52.

À retenir

• Une fraction est un quotient : ab = a ÷ b, c'est le nombre qui, multiplié par b, donne a.
• Multiplier ou diviser numérateur et dénominateur par le même nombre ne change pas la valeur : c'est la simplification.
• Même dénominateur : on compare les numérateurs. Même numérateur : le plus grand dénominateur donne la plus petite fraction.
• Dénominateurs différents : on les met au même dénominateur avant de comparer.
• Sur une droite graduée, le dénominateur dit en combien on coupe l'unité, le numérateur combien de parts on compte.

★ Pour aller plus loin

Les Égyptiens de l'Antiquité, il y a plus de 3 500 ans, n'utilisaient presque que des fractions de numérateur 1 : 12, 13, 14… Pour écrire 34, ils écrivaient 12 + 14. Le papyrus Rhind, conservé au British Museum, contient des tables entières de ces décompositions.

Entre deux fractions, aussi proches soient-elles, il y en a toujours une autre ! Entre 13 et 12, tu trouves 512. Entre 13 et 512, tu trouves 924. Et ainsi de suite, sans fin. Les mathématiciens disent que les fractions sont « denses » sur la droite.

Et pourtant, certains nombres ne sont aucune fraction : √2, la diagonale d'un carré de côté 1, ne s'écrit avec aucun quotient d'entiers. Les Grecs de l'école de Pythagore l'ont découvert il y a environ 2 500 ans.

Sources pour creuser

• Livre : Le grand roman des maths de Mickaël Launay (Flammarion) — l'histoire des nombres racontée comme une aventure, lisible dès le collège.
• Livre : Le théorème du perroquet de Denis Guedj (Seuil) — un roman policier mathématique, pour les lecteurs curieux et un peu plus grands.
• Chaîne YouTube Yvan Monka (Maths et tiques) : cherche « Comparer des fractions – Cinquième » et « Simplifier une fraction ».
• Chaîne YouTube Hedacademy : cherche « fractions 5ème ».
• Site maths-et-tiques.fr : fiches de cours et exercices corrigés sur les fractions, gratuitement.
• lumni.fr : cherche « fractions collège » pour des vidéos courtes.