Sous zéro et dans le quadrillage : repérer les nombres relatifs et les points du plan

Dans l'ascenseur d'un parking, tu appuies sur « −2 » pour descendre au deuxième sous-sol. À la météo, on annonce −5 °C à Strasbourg et −1 °C à Lille : laquelle des deux villes est la plus froide ? Et à la bataille navale, tu annonces « B7 » pour désigner une case. Tous ces repérages utilisent la même idée : des nombres, parfois négatifs, placés sur des axes. Ce cours t'apprend à lire, comparer et ranger les nombres relatifs, puis à repérer n'importe quel point du plan avec deux nombres.

1. Les nombres relatifs

Un nombre relatif est formé d'un signe (+ ou −) et d'une distance à zéro. Pour −5, le signe est − et la distance à zéro est 5. Les nombres positifs sont ceux du signe + (on peut omettre le signe : +3 = 3), les négatifs ceux du signe −. Zéro est le seul nombre à la fois positif et négatif.

Deux nombres qui ont la même distance à zéro et des signes contraires sont opposés : −4,5 et 4,5 sont opposés. L'opposé de 0 est 0.

2. La droite graduée

Sur une droite graduée, on choisit une origine (le point 0), un sens (la flèche, vers la droite) et une unité (la longueur entre deux graduations). Chaque point a une abscisse : les positifs à droite de 0, les négatifs à gauche. Le point d'abscisse −3 est à 3 unités à gauche de l'origine.

Les opposés sont symétriques par rapport à l'origine : −3 et 3 sont à la même distance de 0, de part et d'autre.

Exemple travaillé 1 : sur une droite graduée de 1 en 1, où se trouve −3,5 ? Entre −4 et −3, exactement au milieu. Attention au piège : −3,5 est plus petit que −3, car il est plus à gauche.

Exemple travaillé 2 : quelle est la distance entre les points d'abscisses −5 et 3 ? De −5 à 0, il y a 5 unités ; de 0 à 3, il y en a 3 : au total 8 unités.

3. Comparer et ranger

Sur la droite graduée, plus un nombre est à gauche, plus il est petit. D'où trois règles :

• un nombre négatif est toujours plus petit qu'un nombre positif : −100 < 2 ;
• entre deux positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro : 3 < 7 ;
• entre deux négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro : −7 < −3 (car −7 est plus loin à gauche).

Strasbourg à −5 °C est donc plus froide que Lille à −1 °C : −5 < −1.

Exemple travaillé 3 : ranger −2 ; 1,5 ; −3,8 ; 0 ; −0,2 dans l'ordre croissant. On place d'abord les négatifs, du plus éloigné de zéro au plus proche, puis 0, puis les positifs : −3,8 < −2 < −0,2 < 0 < 1,5.

4. Le repère du plan

Pour repérer un point sur une feuille, une droite ne suffit plus : il en faut deux. Un repère est formé de deux droites graduées perpendiculaires qui se coupent en leur origine O :

• l'axe horizontal est l'axe des abscisses ;
• l'axe vertical est l'axe des ordonnées.

Chaque point M a deux coordonnées, notées M(x ; y) : d'abord l'abscisse x (lue sur l'axe horizontal), puis l'ordonnée y (lue sur l'axe vertical). Moyen mnémotechnique : « a » avant « o » dans l'alphabet, abscisse avant ordonnée. Ou encore : on marche dans le couloir (horizontal) avant de monter l'escalier (vertical).

Exemple travaillé 4 : placer A(−2 ; 3). On part de O, on se déplace de 2 unités vers la gauche (abscisse négative), puis de 3 unités vers le haut (ordonnée positive). Pour B(4 ; −1) : 4 vers la droite, puis 1 vers le bas.

Exemple travaillé 5 : lire les coordonnées. Un point situé à 3 unités à droite de l'axe des ordonnées et à 2 unités sous l'axe des abscisses a pour coordonnées (3 ; −2). Un point sur l'axe des ordonnées, 5 unités au-dessus de O, a pour coordonnées (0 ; 5) : son abscisse est nulle. L'origine a pour coordonnées (0 ; 0).

Les deux axes découpent le plan en quatre « quarts » : en haut à droite, les deux coordonnées sont positives ; en haut à gauche, l'abscisse est négative et l'ordonnée positive ; en bas à gauche, les deux sont négatives ; en bas à droite, l'abscisse est positive et l'ordonnée négative.

Petit lien avec la symétrie centrale vue cette année : le symétrique de A(2 ; −3) par rapport à l'origine est le point (−2 ; 3) : on prend l'opposé de chaque coordonnée.

À retenir

• Un nombre relatif = un signe + une distance à zéro ; deux opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires.
• Sur la droite graduée, les négatifs sont à gauche de 0 ; plus on va à gauche, plus le nombre est petit.
• Entre deux négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de zéro : −7 < −3.
• Dans un repère, M(x ; y) : l'abscisse x se lit sur l'axe horizontal, l'ordonnée y sur l'axe vertical, toujours dans cet ordre.
• Un point de l'axe des ordonnées a une abscisse nulle ; un point de l'axe des abscisses a une ordonnée nulle.

★ Pour aller plus loin

Le repère à deux axes s'appelle « repère cartésien », du nom de René Descartes. Une légende raconte qu'il en a eu l'idée, malade au lit, en suivant une mouche qui se promenait au plafond : pour décrire sa position, deux nombres suffisent, sa distance à chacun des deux murs !

Le GPS de ton téléphone fonctionne sur le même principe, avec deux coordonnées sur la Terre : la latitude (positive au nord de l'équateur, négative au sud) et la longitude (positive à l'est du méridien de Greenwich, négative à l'ouest). Paris est à peu près à (48,9 ; 2,3) et Buenos Aires à (−34,6 ; −58,4).

Dans les jeux vidéo, chaque personnage est repéré par des coordonnées, souvent trois : x, y et z pour la hauteur. Quand tu « spawnes » en (0 ; 64 ; 0) dans certains jeux, tu es à l'origine horizontale, 64 blocs au-dessus du fond du monde.

Sources pour creuser

• Le Grand Roman des maths de Mickaël Launay (Flammarion) : le chapitre sur Descartes et l'alliance de la géométrie et des nombres.
• Maths 5e, Mission Indigo (Hachette Éducation) : chapitre « Nombres relatifs : repérage et comparaison ».
• Chaîne YouTube Yvan Monka — Maths et tiques : vidéos « Comparer des nombres relatifs » et « Placer un point dans un repère » (Cinquième).
• Chaîne YouTube Micmaths : cherche la vidéo consacrée à l'histoire des nombres négatifs.
• lumni.fr : Collège → Cinquième → Mathématiques, rubrique « Nombres relatifs ».
• education.gouv.fr : programme officiel de mathématiques du cycle 4.