Le crible et les critères : multiples, diviseurs et nombres premiers

Tu dois ranger 72 chocolats dans des boîtes toutes identiques, sans qu'il en reste un seul. Des boîtes de 5 ? Impossible. Des boîtes de 8 ? Neuf boîtes pile. Des boîtes de 7 ? Ça ne tombe pas juste. Sans le savoir, tu viens de chercher les diviseurs de 72. Ce cours te donne des outils pour répondre en un clin d'œil, sans poser une seule division, et te présente les nombres les plus mystérieux de l'arithmétique : les nombres premiers.

1. Multiples et diviseurs

Quand une division « tombe juste », c'est-à-dire que le reste est 0, on dit plusieurs choses à la fois. 72 ÷ 8 = 9, donc :

• 72 est un multiple de 8 (et de 9) ;
• 8 est un diviseur de 72 (et 9 aussi) ;
• 72 est divisible par 8.

Les multiples de 8 sont 0, 8, 16, 24, 32... : on les obtient en multipliant 8 par 0, 1, 2, 3... Il y en a une infinité. Les diviseurs de 72 sont en nombre limité : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 et 72. Pour les trouver tous sans en oublier, on les cherche par paires : 1 × 72, 2 × 36, 3 × 24, 4 × 18, 6 × 12, 8 × 9. Quand les deux nombres de la paire se croisent, on a fini.

Tout nombre entier a au moins deux diviseurs : 1 et lui-même. Et 0 est un multiple de tous les nombres.

2. Les critères de divisibilité

Pour savoir si un nombre est divisible sans poser la division, on regarde ses chiffres :

• par 2 : son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 (le nombre est pair) ;
• par 5 : son dernier chiffre est 0 ou 5 ;
• par 10 : son dernier chiffre est 0 ;
• par 3 : la somme de ses chiffres est divisible par 3 ;
• par 9 : la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Exemple travaillé 1 : le nombre 4 536. Dernier chiffre 6 : divisible par 2, pas par 5 ni par 10. Somme des chiffres : 4 + 5 + 3 + 6 = 18. Or 18 est divisible par 3 et par 9 : 4 536 est divisible par 3 et par 9. Vérification : 4 536 ÷ 9 = 504.

Exemple travaillé 2 : le nombre 7 530. Dernier chiffre 0 : divisible par 2, 5 et 10. Somme des chiffres : 7 + 5 + 3 + 0 = 15 : divisible par 3, mais pas par 9 (15 n'est pas un multiple de 9).

Astuce : un nombre divisible par 9 l'est toujours par 3, mais pas l'inverse. Et un nombre divisible par 2 et par 3 est divisible par 6.

3. Les nombres premiers

Un nombre premier est un nombre entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

• 7 est premier : ses seuls diviseurs sont 1 et 7.
• 15 n'est pas premier : 1, 3, 5 et 15 le divisent.
• 1 n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur. 2 est le seul nombre premier pair.

Pour savoir si un nombre plus petit que 100 est premier, il suffit de tester s'il est divisible par 2, 3, 5 ou 7. S'il ne l'est par aucun des quatre, il est premier.

Exemple travaillé 3 : 91 est-il premier ? Pas divisible par 2 (impair), par 3 (9 + 1 = 10), par 5 (finit par 1). Par 7 ? 7 × 13 = 91. Donc 91 n'est pas premier, même s'il en a l'air !

Exemple travaillé 4 : 97 ? Impair ; 9 + 7 = 16, pas divisible par 3 ; ne finit ni par 0 ni par 5 ; 7 × 13 = 91 et 7 × 14 = 98, donc pas divisible par 7. 97 est premier.

Les 25 nombres premiers inférieurs à 100 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

4. Le crible d'Ératosthène

Un savant grec, Ératosthène, a inventé il y a plus de 2 200 ans une méthode pour les trouver tous d'un coup. Écris les nombres de 2 à 100 dans une grille. Entoure 2, puis barre tous ses multiples (4, 6, 8...). Le premier nombre non barré est 3 : entoure-le et barre ses multiples. Puis 5, puis 7. Les nombres qui restent, ni entourés ni barrés, sont tous premiers : entoure-les. Tu as « tamisé » les nombres comme avec une passoire, d'où le nom de crible.

À retenir

• a est un multiple de b, b est un diviseur de a, a est divisible par b : trois façons de dire que a ÷ b tombe juste.
• Divisible par 2, 5, 10 : on regarde le dernier chiffre ; par 3 ou 9 : on additionne les chiffres.
• Pour trouver tous les diviseurs d'un nombre, on les cherche par paires.
• Un nombre premier a exactement deux diviseurs ; 1 n'est pas premier, 2 est le seul premier pair.
• Pour un nombre inférieur à 100, tester 2, 3, 5 et 7 suffit.

★ Pour aller plus loin

Les nombres premiers sont les « briques » de tous les autres : chaque entier s'écrit d'une seule façon comme produit de nombres premiers. Par exemple 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3. Tu l'apprendras en Troisième, mais rien ne t'empêche d'essayer avec 60 ou 100.

Il existe une infinité de nombres premiers : Euclide l'a démontré il y a 2 300 ans. Le plus grand connu à ce jour a plus de 41 millions de chiffres ; il a été trouvé en 2024 par un ancien employé de Nvidia avec des milliers de cartes graphiques.

À quoi servent-ils ? À protéger tes messages ! Quand tu paies en ligne ou envoies un message chiffré, le code repose sur le fait qu'il est facile de multiplier deux grands nombres premiers, mais extrêmement long, même pour un ordinateur, de retrouver ces deux nombres à partir du produit.

Sources pour creuser

• Le Grand Roman des maths de Mickaël Launay (Flammarion) : le chapitre sur Euclide et les nombres premiers.
• Maths 5e, Mission Indigo (Hachette Éducation) : chapitre « Divisibilité et nombres premiers ».
• Chaîne YouTube Micmaths : cherche la vidéo sur les nombres premiers et le crible d'Ératosthène.
• Chaîne YouTube Yvan Monka — Maths et tiques : vidéos « Critères de divisibilité » et « Nombres premiers » (Cinquième).
• lumni.fr : Collège → Cinquième → Mathématiques, rubrique « Nombres et calculs ».
• education.gouv.fr : programme officiel de mathématiques du cycle 4.