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Qui passe en premier ? L'ordre des calculs et le coup de la distributivité

Cinquième · Mathématiques · environ 25 min

Tu envoies « 5 + 3 × 4 » à deux amis. Le premier répond 32, le second 17. Qui a raison ? Si tu le tapes sur la calculatrice de ton téléphone, l'écran affiche 17... sauf sur certaines calculatrices très simples qui affichent 32 ! Pour que tout le monde obtienne le même résultat, les mathématiciens ont fixé des règles de priorité. Ce cours te les donne, puis t'apprend un raccourci redoutable pour le calcul mental : la distributivité.

1. Les priorités opératoires

Les priorités opératoires En haut, une expression à calculer. En dessous, l'ordre à respecter, de haut en bas : d'abord ce qui est entre parenthèses, ensuite les puissances, puis les multiplications et divisions, et pour finir les additions et soustractions. 7 + 2 × (5 − 1)² 1 ( ) les parenthèses 2 xⁿ les puissances 3 × ÷ multiplier, diviser 4 + − additionner, soustraire

Dans un calcul sans parenthèses :

  1. on effectue d'abord les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
  2. puis les additions et soustractions, de gauche à droite.

Donc 5 + 3 × 4 = 5 + 12 = 17. La multiplication passe avant l'addition, même si elle est écrite après.

Exemple travaillé 1 : 20 − 8 ÷ 2 = 20 − 4 = 16 (on ne fait surtout pas 12 ÷ 2).

Exemple travaillé 2 : 36 ÷ 2 × 3. Division et multiplication ont la même priorité, on va de gauche à droite : 18 × 3 = 54. Et non 36 ÷ 6 = 6.

Exemple travaillé 3 : 10 − 3 − 2. Même priorité, de gauche à droite : 7 − 2 = 5. Et non 10 − 1 = 9.

2. Les parenthèses commandent

Les parenthèses sont prioritaires sur tout : on calcule d'abord ce qu'elles contiennent. (5 + 3) × 4 = 8 × 4 = 32.

Quand il y a des parenthèses dans des parenthèses, on commence par les plus intérieures.

Exemple travaillé 4 : 18 − (4 + 2 × 3). Dans la parenthèse, la multiplication d'abord : 2 × 3 = 6, puis 4 + 6 = 10. Enfin 18 − 10 = 8.

Exemple travaillé 5 : 30 − 2 × (3 + 4) = 30 − 2 × 7 = 30 − 14 = 16.

Une barre de fraction agit comme deux parenthèses, une en haut et une en bas : 24 + 63 × 2 = 306 = 5.

3. À la calculatrice

Une calculatrice scientifique (ou l'application de ton téléphone tenu en mode paysage) respecte les priorités : tu tapes le calcul tel qu'il est écrit, avec ses parenthèses. Pour une fraction comme 24 + 63 × 2, tu dois taper (24 + 6) ÷ (3 × 2), sinon la machine calcule 24 + 6 ÷ 3 × 2 = 24 + 4 = 28. Règle de sécurité : estime d'abord mentalement l'ordre de grandeur, puis compare avec l'écran.

4. La distributivité : le raccourci

Développer et factoriser Le modèle de l'aire. Un rectangle de hauteur k et de largeur (a + b) est coupé en deux : à gauche l'aire k×a, à droite l'aire k×b. Leur somme est l'aire totale k(a + b). Développer va du rectangle entier vers les deux parts ; factoriser fait le chemin inverse. a b k k × a k × b k (a + b) = k×a + k×b développer → ← factoriser

Regarde un rectangle de 5 cm de haut et de 3 + 4 = 7 cm de large. Son aire est 5 × 7 = 35 cm². Mais on peut le couper en deux rectangles de 5 × 3 et 5 × 4 : 15 + 20 = 35 cm². Même aire, forcément ! C'est la distributivité de la multiplication sur l'addition :

k × (a + b) = k × a + k × b, et de même k × (a − b) = k × a − k × b.

Dans le sens « on ouvre la parenthèse », on dit qu'on développe. Dans l'autre sens, on factorise : on repère le facteur commun et on le met devant.

Pour le calcul mental, c'est magique :

  • 7 × 103 = 7 × (100 + 3) = 700 + 21 = 721 ;
  • 8 × 99 = 8 × (100 − 1) = 800 − 8 = 792 ;
  • 25 × 12 = 25 × (10 + 2) = 250 + 50 = 300.

Et pour factoriser : 23 × 12 + 23 × 8. Plutôt que deux grosses multiplications, on remarque le facteur commun 23 : 23 × (12 + 8) = 23 × 20 = 460.

À retenir

  • Parenthèses d'abord (les plus intérieures en premier), puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions.
  • À priorité égale, on calcule de gauche à droite.
  • Une barre de fraction vaut deux parenthèses : à la calculatrice, on les tape.
  • Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b. Développer, c'est ouvrir la parenthèse ; factoriser, c'est la refermer autour du facteur commun.
  • Toujours estimer l'ordre de grandeur avant de faire confiance à l'écran.

★ Pour aller plus loin

Les parenthèses sont apparues au XVIe siècle, chez des mathématiciens italiens ; avant, on soulignait les groupes à calculer ensemble, ou on les écrivait avec des mots. Le signe × n'a été inventé qu'en 1631 par l'Anglais William Oughtred.

Les ordinateurs suivent exactement les mêmes priorités : dans tous les langages de programmation, 5 + 3 * 4 donne 17. Mais les programmeurs ajoutent souvent des parenthèses « inutiles » pour que leur code se lise sans effort : (5 + 3) * 4 ou 5 + (3 * 4).

Une astuce de calcul mental qui repose sur la distributivité : pour multiplier un nombre par 11, on le multiplie par 10 et on lui ajoute lui-même. 35 × 11 = 350 + 35 = 385. Essaie avec 72 × 11.

Sources pour creuser

  • Le Grand Roman des maths de Mickaël Launay (Flammarion), pour l'histoire des symboles et des notations.
  • Maths 5e, Mission Indigo (Hachette Éducation) : chapitre « Enchaînements d'opérations et distributivité ».
  • Chaîne YouTube Yvan Monka — Maths et tiques : vidéos « Priorités opératoires » et « Distributivité : développer et factoriser » (Cinquième).
  • Chaîne YouTube Micmaths : cherche la vidéo sur les techniques de calcul mental.
  • lumni.fr : Collège → Cinquième → Mathématiques, rubrique « Calcul ».
  • education.gouv.fr : programme officiel de mathématiques du cycle 4.