Additionner le hasard : espérance et variance d'une somme et d'un échantillon

Chaque matin, ton trajet se fait en deux temps : X minutes de marche jusqu'à l'arrêt, puis Y minutes de bus. Ces durées changent d'un jour à l'autre : ce sont des variables aléatoires, et ta durée totale est X + Y. Sa moyenne ? On additionne les moyennes. Sa dispersion ? C'est plus subtil : c'est l'enjeu de ce chapitre.

1. Une succession d'épreuves indépendantes

Quand on enchaîne n épreuves dont les résultats ne s'influencent pas (lancers successifs, tirages avec remise, tirs au but…), on modélise l'expérience par l'ensemble des listes (x₁ ; x₂ ; … ; xₙ) de résultats, et la probabilité d'une liste est le produit des probabilités de chacun de ses résultats. C'est la règle de l'arbre : on multiplie le long d'un chemin.

Exemple 1. On lance une pièce équilibrée, puis un dé équilibré. La liste (Pile ; 6) a pour probabilité 12 × 16 = 112. Les épreuves n'ont pas besoin d'être identiques : seule compte leur indépendance.

2. Somme de deux variables aléatoires

Si X et Y sont définies sur la même expérience, X + Y associe à chaque issue la somme des deux valeurs.

Linéarité de l'espérance (toujours vraie). E(X + Y) = E(X) + E(Y) et, pour tous réels a et b, E(aX + b) = aE(X) + b.

Variance. Pour tous réels a et b, V(aX + b) = a² V(X) : ajouter une constante décale sans disperser. Si X et Y sont indépendantes (par exemple liées à deux épreuves indépendantes), alors V(X + Y) = V(X) + V(Y).

Exemple 2 (deux dés). Soit X le résultat d'un dé équilibré. E(X) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 66 = 3,5 et E(X²) = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 366 = 916, donc V(X) = E(X²) − E(X)² = 916 − 12,25 = 3512 ≈ 2,92. Avec deux dés, S = X₁ + X₂, où X₁ et X₂ sont indépendantes et de même loi que X : E(S) = 7 et V(S) = 3512 + 3512 = 356 ≈ 5,83. Compare avec T = 2X₁ (un seul dé, résultat doublé) : E(T) = 7 aussi, mais V(T) = 4 × 3512 = 353 ≈ 11,67. Même moyenne, variance deux fois plus grande : deux lancers indépendants se compensent en partie, un lancer doublé jamais.

Deux pièges

• Si X et Y sont indépendantes, V(X − Y) = V(X) + (−1)² V(Y) = V(X) + V(Y) : les variances ne se soustraient jamais.
• X n'est pas indépendante d'elle-même (sauf si elle est constante) : V(X + X) = V(2X) = 4V(X), et non 2V(X).

3. La loi binomiale vue comme une somme

Propriété (à savoir démontrer). Si X suit la loi binomiale B(n ; p), alors E(X) = np et V(X) = np(1 − p).

Démonstration. Notons Xᵢ la variable qui vaut 1 si la i-ème épreuve de Bernoulli est un succès, 0 sinon. Compter les succès, c'est additionner : X = X₁ + X₂ + … + Xₙ. Chaque Xᵢ vérifie E(Xᵢ) = 1 × p + 0 × (1 − p) = p et, comme Xᵢ² = Xᵢ, E(Xᵢ²) = p, d'où V(Xᵢ) = p − p² = p(1 − p). Par linéarité, E(X) = np ; les épreuves étant indépendantes, les variances s'ajoutent : V(X) = np(1 − p). ∎

Exemple 3. Tom répond au hasard aux 40 questions d'un QCM à 4 choix. Son nombre X de bonnes réponses suit B(40 ; 0,25) : E(X) = 10, V(X) = 40 × 0,25 × 0,75 = 7,5 et σ(X) = √7,5 ≈ 2,74.

4. Échantillon : la somme et la moyenne

Un échantillon de taille n d'une loi de probabilité est une liste (X₁ ; … ; Xₙ) de variables aléatoires indépendantes qui suivent toutes cette loi : n répétitions indépendantes de la même mesure. On note Sₙ = X₁ + … + Xₙ et Mₙ = Sₙn. Si cette loi a pour espérance μ et pour écart type σ (donc pour variance σ²) :

• E(Sₙ) = nμ, V(Sₙ) = nσ² et σ(Sₙ) = σ√n ;
• E(Mₙ) = μ, V(Mₙ) = σ²n et σ(Mₙ) = σ√n.

Exemple 4. Pour 100 lancers d'un dé équilibré, σ = √(3512) ≈ 1,71, donc la moyenne M₁₀₀ a pour espérance 3,5 et pour écart type environ 1,7110 ≈ 0,17. Pour diviser cet écart type par 2, il faut 4 fois plus de lancers.

Ce σ√n qui tend vers 0 explique la loi des grands nombres : l'inégalité de concentration (issue de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev) affirme que, pour tout réel δ > 0, P(|Mₙ − μ| ≥ δ) ≤ σ²nδ², un majorant qui tend vers 0 quand n grandit.

À retenir

• Pour des épreuves indépendantes, la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités.
• Toujours : E(X + Y) = E(X) + E(Y), E(aX + b) = aE(X) + b et V(aX + b) = a² V(X).
• Si X et Y sont indépendantes : V(X + Y) = V(X) + V(Y), et V(X − Y) aussi.
• Une loi B(n ; p) est une somme de n variables de Bernoulli indépendantes : E = np et V = np(1 − p).
• Pour un échantillon de taille n : E(Mₙ) = μ et σ(Mₙ) = σ√n.

★ Pour aller plus loin

Sans indépendance, la variance d'une somme fait intervenir la covariance, que tu étudieras après le bac : V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 Cov(X, Y), où Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y). Deux grandeurs qui varient dans le même sens, comme la taille et la masse, ont une covariance positive.

Additionne un grand nombre de variables indépendantes et la loi de leur somme prend la forme d'une cloche : c'est le théorème central limite, que l'on voit à l'œuvre dans la planche de Galton, où des billes rebondissent sur des rangées de clous.

Le σ√n fait vivre les assureurs : le coût d'un assuré est très incertain, mais la moyenne sur un million d'assurés est mille fois moins dispersée, car √1 000 000 = 1 000. La première loi des grands nombres figure dans l'Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli, publié en 1713, après sa mort.

Sources pour creuser

• Livres : Ivar Ekeland, « Au hasard. La chance, la science et le monde » (Seuil) ; Leila Schneps et Coralie Colmez, « Les maths au tribunal » (Seuil), sur les erreurs de probabilités dans les procès.
• Vidéos : chaîne YouTube « Yvan Monka » (cherche « somme de variables aléatoires Monka » et « échantillon variable aléatoire Monka ») ; chaîne « Les Bons Profs » (cherche « variance d'une somme de variables aléatoires »).
• Institutionnel : lumni.fr (rubrique lycée, mathématiques) ; eduscol.education.fr (programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques de Terminale).