L'intégrale : mesurer l'aire sous une courbe

Ta montre enregistre ta vitesse pendant un footing. Si tu cours 10 minutes à 12 km/h, tu parcours 12 × 16 = 2 km : l'aire d'un rectangle de hauteur 12 et de largeur 16 sous la « courbe » de la vitesse. Si ta vitesse varie, la distance reste l'aire sous la courbe : c'est une intégrale.

1. L'intégrale, une aire

Dans un repère orthogonal, l'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle construit sur les unités des deux axes.

Définition. Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b]. L'intégrale de a à b de f, notée ∫ₐᵇ f(x) dx, est l'aire, en u.a., du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b.

La lettre x est « muette » : ∫ₐᵇ f(t) dt désigne le même nombre. Quand une borne ne s'écrit pas en petit, on la met après un accent circonflexe : ∫₀^π sin x dx.

Exemple 1. ∫₀² (x + 1) dx est l'aire d'un trapèze de bases 1 et 3 et de hauteur 2 : (1 + 3) × 22 = 4.

2. Intégrale et primitive

Théorème. Si f est continue et positive sur [a ; b], la fonction F définie sur [a ; b] par F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt est la primitive de f qui s'annule en a.

Démonstration (f croissante). Pour h > 0, F(x + h) − F(x) est l'aire sous la courbe entre x et x + h, comprise entre celles de deux rectangles de largeur h : h × f(x) ≤ F(x + h) − F(x) ≤ h × f(x + h). En divisant par h : f(x) ≤ F(x + h) − F(x)h ≤ f(x + h). Comme f est continue, f(x + h) tend vers f(x) : par les gendarmes, le taux d'accroissement tend vers f(x). Même raisonnement pour h < 0, donc F'(x) = f(x).

Conséquence. Pour toute primitive G de f : ∫ₐᵇ f(x) dx = G(b) − G(a), noté [G(x)]ₐᵇ. Pour f continue de signe quelconque, cette égalité devient la définition : si f est négative sur [a ; b], l'intégrale est l'opposé de l'aire.

Exemple 2. ∫₀¹ x² dx = [x³3]₀¹ = 13 et ∫₀^π sin x dx = [−cos x]₀^π = 1 + 1 = 2.

3. Les propriétés

Pour f et g continues sur un intervalle I, a, b, c dans I et λ réel :

• linéarité : ∫ₐᵇ (f(x) + g(x)) dx = ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ₐᵇ g(x) dx et ∫ₐᵇ λ f(x) dx = λ ∫ₐᵇ f(x) dx ;
• relation de Chasles : l'intégrale de a à c est la somme de l'intégrale de a à b et de celle de b à c ;
• positivité : si a ≤ b et f ≥ 0 sur [a ; b], alors ∫ₐᵇ f(x) dx ≥ 0 ; de même, si a ≤ b et f ≤ g sur [a ; b], alors ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ ∫ₐᵇ g(x) dx.

Aire entre deux courbes. Si f ≥ g sur [a ; b], l'aire du domaine compris entre les deux courbes vaut ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx.

Exemple 3. Sur [0 ; 1], x ≥ x². L'aire entre la droite y = x et la parabole y = x² vaut ∫₀¹ (x − x²) dx = 12 − 13 = 16 u.a.

4. La valeur moyenne

La valeur moyenne de f sur [a ; b], avec a < b, est μ = 1b − a ∫ₐᵇ f(x) dx : pour f positive, c'est la hauteur du rectangle de base [a ; b] qui a la même aire que le domaine sous la courbe. La valeur moyenne de sinus sur [0 ; π] vaut ainsi 2π ≈ 0,64.

5. L'intégration par parties

Théorème. Si u et v sont dérivables sur [a ; b], de dérivées continues : ∫ₐᵇ u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u'(x) v(x) dx.

Démonstration. (uv)' = u'v + uv', donc uv est une primitive de u'v + uv' : ∫ₐᵇ (u'v + uv')(x) dx = [u(x) v(x)]ₐᵇ, et la linéarité donne la formule.

Exemple 4. Pour ∫₀¹ x eˣ dx, on choisit u(x) = x et v'(x) = eˣ, donc u'(x) = 1 et v(x) = eˣ : ∫₀¹ x eˣ dx = [x eˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = e − (e − 1) = 1. Choisis pour u le facteur qui se simplifie quand on le dérive (un polynôme, ln x).

À retenir

• Pour f continue et positive, ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire sous la courbe ; pour toute f continue, ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), où F est une primitive de f.
• x ↦ ∫ₐˣ f(t) dt est la primitive de f qui s'annule en a.
• Linéarité, Chasles, positivité ; l'aire entre deux courbes est ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx si f ≥ g.
• Valeur moyenne : 1b − a ∫ₐᵇ f(x) dx. Intégration par parties : ∫ₐᵇ uv' = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u'v.

★ Pour aller plus loin

Au IIIᵉ siècle avant notre ère, Archimède montre que l'aire d'un segment de parabole vaut les 43 de celle du triangle inscrit de même base et de même hauteur, en l'épuisant par des triangles de plus en plus petits : une idée qui annonce le calcul intégral.

Le symbole ∫ est un S allongé, pour « summa » (somme) : Leibniz l'introduit en 1675. Newton et lui découvrent, chacun de son côté, le lien entre aires et primitives.

Certaines fonctions, comme x ↦ e^(−x²) (la courbe en cloche de Gauss), n'ont aucune primitive exprimable avec les fonctions usuelles : on calcule leurs intégrales par des méthodes numériques (rectangles, trapèzes). Pourtant, l'aire totale sous cette cloche vaut exactement √π !

Sources pour creuser

• Livres : Mickaël Launay, « Le Grand Roman des maths » (Flammarion) ; Denis Guedj, « Le Théorème du perroquet » (Seuil).
• Vidéos : chaîne YouTube « Yvan Monka », cherche « Monka calcul intégral » et « Monka intégration par parties » ; chaîne « Micmaths » de Mickaël Launay.
• Institutionnel : lumni.fr (lycée, mathématiques) ; maths-et-tiques.fr ; eduscol.education.fr (programme de spécialité de Terminale).