Droites, plans et vecteurs normaux : l'orthogonalité dans l'espace

Dans un jeu vidéo en 3D, chaque facette d'un personnage porte une flèche perpendiculaire à sa surface : sa normale. Le moteur graphique la compare à la direction de la lumière pour décider si la facette est éclairée. C'est le vecteur normal de ce chapitre : grâce à lui, un plan tient en une équation, et l'on calcule intersections et distances sans dessin.

Dans tout le chapitre, l'espace est muni d'un repère orthonormé (O ; i, j, k).

1. Produit scalaire et orthogonalité

Pour u(x ; y ; z) et v(x' ; y' ; z'), le produit scalaire vaut u · v = xx' + yy' + zz', et la norme de u vaut ‖u‖ = √(x² + y² + z²). u et v sont orthogonaux si et seulement si u · v = 0.

Deux droites sont orthogonales lorsque leurs vecteurs directeurs le sont, même si elles ne se coupent pas. Une droite orthogonale à deux droites sécantes d'un plan est orthogonale au plan, c'est-à-dire à toutes ses droites.

Exemple 1. u(1 ; 2 ; −1) et v(3 ; −1 ; 1) : u · v = 3 − 2 − 1 = 0, donc u et v sont orthogonaux.

2. Vecteur normal et équation cartésienne

Un vecteur n non nul est normal au plan P s'il est orthogonal à tous les vecteurs de P ; il suffit qu'il soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P.

Théorème. Le plan passant par A(xA ; yA ; zA) et de vecteur normal n(a ; b ; c) est l'ensemble des points M(x ; y ; z) tels que AM · n = 0 ; il a une équation de la forme ax + by + cz + d = 0. Réciproquement, si a, b et c ne sont pas tous nuls, ax + by + cz + d = 0 est l'équation d'un plan de vecteur normal n(a ; b ; c).

Pourquoi ? AM · n = a(x − xA) + b(y − yA) + c(z − zA) : on prend d = −(a × xA + b × yA + c × zA).

Exemple 2. Le plan passant par A(1 ; 0 ; 2) et de vecteur normal n(2 ; −1 ; 3) a pour équation 2(x − 1) − (y − 0) + 3(z − 2) = 0, soit 2x − y + 3z − 8 = 0. Contrôle avec A : 2 − 0 + 6 − 8 = 0.

Exemple 3 (trois points). A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0) et C(0 ; 0 ; 3). On cherche n(a ; b ; c) orthogonal à AB(−1 ; 2 ; 0) et à AC(−1 ; 0 ; 3) : −a + 2b = 0 et −a + 3c = 0. Avec a = 6, on trouve b = 3 et c = 2. A vérifie 6x + 3y + 2z + d = 0, d'où d = −6 : (ABC) a pour équation 6x + 3y + 2z − 6 = 0 (B et C la vérifient).

3. Intersections

Droite et plan. On injecte la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan. Une solution unique en t : la droite coupe le plan en un point. Une égalité toujours vraie (0 = 0) : elle est contenue dans le plan. Une égalité impossible (0 = 5) : elle lui est strictement parallèle. Dans ces deux derniers cas seulement, un vecteur directeur u vérifie u · n = 0.

Exemple 4. d : x = 1 + t, y = 2t, z = 3 − t (t réel) et P : 2x − y + 3z − 8 = 0. On obtient 2(1 + t) − 2t + 3(3 − t) − 8 = 0, soit 3 − 3t = 0, donc t = 1 : d coupe P au point I(2 ; 2 ; 2).

Deux plans. Vecteurs normaux colinéaires : plans parallèles (strictement ou confondus) ; sinon, ils se coupent selon une droite. Ils sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

4. Projeté orthogonal et distance

Le projeté orthogonal d'un point M sur un plan P est le point H de P tel que MH soit colinéaire à un vecteur normal de P. Sur une droite d dirigée par u, c'est le point H de d tel que MH · u = 0.

Méthode. On coupe P par la droite passant par M et dirigée par n.

Exemple 5. P : x + 2y + 2z − 2 = 0 et M(4 ; 4 ; 4). La droite x = 4 + t, y = 4 + 2t, z = 4 + 2t coupe P quand 4 + t + 8 + 4t + 8 + 4t − 2 = 0, soit 18 + 9t = 0, donc t = −2 : H(2 ; 0 ; 0). Alors MH = √(2² + 4² + 4²) = √36 = 6.

Propriété (à savoir démontrer). H est le point de P le plus proche de M : la distance de M au plan P est MH.

Démonstration. Soit N un point de P distinct de H. HN est un vecteur de P, donc orthogonal à MH : le triangle MHN est rectangle en H, et le théorème de Pythagore donne MN² = MH² + HN² > MH², donc MN > MH. ∎

À retenir

• En repère orthonormé : u · v = xx' + yy' + zz' ; u et v sont orthogonaux si et seulement si u · v = 0.
• Un plan de vecteur normal n(a ; b ; c) a une équation ax + by + cz + d = 0 ; un point du plan donne d.
• Plan (ABC) : on cherche n tel que n · AB = 0 et n · AC = 0.
• Droite et plan : on injecte la représentation paramétrique dans l'équation du plan.
• Projeté H de M sur P : intersection de P et de la droite passant par M dirigée par n ; MH est la distance de M à P.

★ Pour aller plus loin

Une formule hors programme, pratique pour vérifier : la distance de M(x₀ ; y₀ ; z₀) au plan ax + by + cz + d = 0 vaut |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|√(a² + b² + c²) ; dans l'exemple 5, |4 + 8 + 8 − 2|3 = 6.

En synthèse d'images, la loi de Lambert (1760) dit qu'une surface mate est d'autant plus éclairée que sa normale pointe vers la lumière : l'éclairement est proportionnel au cosinus de leur angle, donné par un produit scalaire. Les ombrages lissés d'Henri Gouraud (1971) et de Bui Tuong Phong (1975) en découlent. Après le bac, le produit vectoriel te donnera un vecteur normal en un seul calcul.

Sources pour creuser

• Livres : Edwin A. Abbott, « Flatland » (1884, plusieurs traductions françaises), roman d'un monde à deux dimensions ; Mickaël Launay, « Le grand roman des maths » (Flammarion).
• Vidéos : chaîne YouTube « Yvan Monka » (cherche « équation cartésienne d'un plan Monka » et « projeté orthogonal Monka ») ; chaîne « Les Bons Profs » (cherche « vecteur normal plan »).
• Outils et institutionnel : GeoGebra 3D (geogebra.org) pour faire tourner plans et droites ; lumni.fr ; eduscol.education.fr (programme de spécialité de Terminale).