Primitives et équations différentielles : remonter à la fonction

Ton chocolat chaud refroidit vite au début, puis de plus en plus lentement. Newton l'avait remarqué : la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart avec la température de la pièce, ici 20 °C, soit T'(t) = −k(T(t) − 20) avec k > 0. L'inconnue est une fonction : c'est une équation différentielle. Pour la résoudre, il faut remonter d'une dérivée à la fonction : c'est le rôle des primitives.

1. Primitives d'une fonction

Définition. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I telle que F' = f. Autrement dit, F est solution de l'équation différentielle y' = f.

On admet que toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

Propriété. Si F est une primitive de f sur I, les primitives de f sur I sont les fonctions F + c, où c est un réel.

Démonstration. (F + c)' = F' = f. Réciproquement, si G est une primitive de f, alors (G − F)' = f − f = 0 sur l'intervalle I, donc G − F est une constante c. Ainsi, une seule primitive prend une valeur donnée en un point donné.

Primitives de référence :

• xⁿ, pour n entier différent de −1 : xⁿ⁺¹n + 1 (sur ]−∞ ; 0[ ou sur ]0 ; +∞[ si n ≤ −2) ;
• 1x : ln x, et 1√x : 2√x, sur ]0 ; +∞[ ;
• eˣ : eˣ ; sin x : −cos x ; cos x : sin x.

Formes composées, pour u dérivable : u' × e^u a pour primitive e^u ; u'u a pour primitive ln u (si u > 0) ; u' × uⁿ a pour primitive uⁿ⁺¹n + 1 (n ≠ −1, et u ≠ 0 si n < 0) ; u'√u a pour primitive 2√u (si u > 0). Toutes viennent de la dérivée d'une composée : (v ∘ u)' = (v' ∘ u) × u'.

Exemple 1. f(x) = 3x² − 4x² + e^(2x) sur ]0 ; +∞[. On a −4x² = −4x⁻², de primitive −4 × x⁻¹−1 = 4x, et e^(2x) = 12 × 2e^(2x), de primitive 12 e^(2x). Donc F(x) = x³ + 4x + 12 e^(2x) + c.

Exemple 2. f(x) = x e^(x²) = 12 × 2x e^(x²) : ses primitives sont x ↦ 12 e^(x²) + c. Celle qui vaut 1 en 0 vérifie 12 + c = 1, donc c = 12.

2. L'équation y' = ay

Théorème. Soit a un réel. Les solutions sur ℝ de y' = ay sont les fonctions x ↦ C e^(ax), où C est un réel.

Démonstration. x ↦ C e^(ax) a pour dérivée aC e^(ax) : c'est une solution. Réciproquement, soit f une solution et g(x) = f(x) e^(−ax). Alors g'(x) = f'(x) e^(−ax) − a f(x) e^(−ax) = (f'(x) − a f(x)) e^(−ax) = 0 : g est constante, égale à un réel C, et f(x) = C e^(ax).

Avec la condition y(0) = y₀, la solution est unique : x ↦ y₀ e^(ax). Pour y₀ > 0, quand x tend vers +∞, elle tend vers +∞ si a > 0, vers 0 si a < 0.

Exemple 3 : l'iode 131, utilisé en médecine, a une demi-vie d'environ 8 jours. Sa masse vérifie m' = −λm, donc m(t) = m₀ e^(−λt), et m(8) = m₀2 donne λ = ln 28 ≈ 0,087 par jour.

3. L'équation y' = ay + b, avec a ≠ 0

La fonction constante égale à −ba est solution, car a × (−ba) + b = 0.

Théorème. Les solutions sur ℝ de y' = ay + b sont les fonctions x ↦ C e^(ax) − ba, où C est un réel.

Démonstration. Pour f dérivable, notons z = f + ba. Comme z' = f' et af + b = a(f + ba) = az, l'égalité f' = af + b s'écrit z' = az. Donc f est solution si et seulement si z = C e^(ax), c'est-à-dire f(x) = C e^(ax) − ba.

Exemple 4 : retour au chocolat chaud. Avec k = 0,1 (t en minutes) : T' = −0,1T + 2 et T(0) = 80. La solution constante est 20, la température de la pièce, donc T(t) = C e^(−0,1t) + 20, et T(0) = 80 donne C = 60 : T(t) = 20 + 60 e^(−0,1t). Il fait 50 °C quand e^(−0,1t) = 12, soit t = 10 ln 2 ≈ 6,9 minutes. Quand a < 0, toutes les solutions tendent vers l'équilibre −ba en +∞, ici 20.

À retenir

• F est une primitive de f sur l'intervalle I si F' = f ; les autres primitives sont les F + c.
• Formes à reconnaître : u' e^u, u'u, u' uⁿ, u'√u.
• y' = ay a pour solutions x ↦ C e^(ax) ; avec y(0) = y₀, c'est x ↦ y₀ e^(ax).
• y' = ay + b (a ≠ 0) a pour solutions x ↦ C e^(ax) − ba ; la constante C se trouve avec la condition initiale.

★ Pour aller plus loin

Quand on ne sait pas résoudre une équation différentielle, on l'approche : la méthode d'Euler (XVIIIᵉ siècle) avance par petits pas de tangente, y(x + h) ≈ y(x) + h × y'(x). Les simulateurs de météo utilisent des méthodes de ce type.

La datation au carbone 14, qui valut à Willard Libby le prix Nobel de chimie en 1960, repose sur y' = ay : le carbone 14 d'un organisme mort décroît avec une demi-vie d'environ 5 730 ans.

Une population ne grandit pas indéfiniment : en 1838, Pierre-François Verhulst propose le modèle logistique y' = ay(1 − yK), dont les solutions dessinent une courbe en S plafonnant à K.

Sources pour creuser

• Livres : Mickaël Launay, « Le Grand Roman des maths » (Flammarion) ; Cédric Villani, « Théorème vivant » (Grasset), le récit de la naissance d'un théorème sur une équation de la physique des plasmas.
• Vidéos : chaîne YouTube « Yvan Monka », cherche « Monka primitives » et « Monka équation différentielle » ; chaîne « Les Bons Profs », cherche « équations différentielles terminale ».
• Institutionnel : lumni.fr (lycée, mathématiques) ; maths-et-tiques.fr ; eduscol.education.fr (programme de spécialité de Terminale).