Sinus et cosinus : dériver les ondes, résoudre sur le cercle

La nacelle d'une grande roue monte, redescend, remonte… Le son d'un diapason, la marée, la tension de ta prise électrique (50 oscillations par seconde) : ces phénomènes se répètent et se décrivent avec sinus et cosinus. Tu les connais depuis la Première ; cette année, tu apprends à les dériver, donc à étudier toute fonction construite avec elles.

1. Rappels : le cercle trigonométrique

Sur le cercle de centre O et de rayon 1, le point M associé au réel x a pour coordonnées (cos x ; sin x). Les angles sont en radians : un tour complet vaut 2π. Pour tout réel x :

• cos² x + sin² x = 1, avec −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1 ;
• périodicité : cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x ;
• parité : cos(−x) = cos x, donc cosinus est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) ; sin(−x) = −sin x, donc sinus est impaire (courbe symétrique par rapport à l'origine) ;
• sin(π − x) = sin x et cos(π − x) = −cos x.

Valeurs à connaître : cos(π6) = √32, cos(π4) = √22, cos(π3) = 12, et pour les sinus l'ordre inverse : sin(π6) = 12, sin(π3) = √32.

En pratique, une fonction 2π-périodique s'étudie sur un intervalle de longueur 2π, par exemple [−π ; π] ; si elle est de plus paire ou impaire, [0 ; π] suffit : on complète ensuite la courbe par symétrie, puis par translations.

2. Dérivées et variations

Théorème (admis). Sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ et, pour tout réel x : sin'(x) = cos x et cos'(x) = −sin x.

Le point clé est sin'(0) = 1 : sin hh tend vers 1 quand h tend vers 0. La dérivée de cosinus s'en déduit : cos x = sin(x + π2), donc cos'(x) = cos(x + π2) = −sin x.

Pour des réels a et b : (sin(ax + b))' = a cos(ax + b) et (cos(ax + b))' = −a sin(ax + b). Pour a > 0, les fonctions x ↦ cos(ax) et x ↦ sin(ax) sont périodiques de période 2πa.

Variations sur [0 ; π]. Sur cet intervalle, cos' = −sin est négative : cosinus décroît de 1 à −1. sin' = cos est positive sur [0 ; π2], négative sur [π2 ; π] : sinus croît de 0 à 1, puis redescend à 0. Les deux courbes sont des sinusoïdes ; celle de cosinus est l'image de celle de sinus par la translation de vecteur de coordonnées (−π2 ; 0).

Exemple 1 : un maximum. f(x) = x + 2 cos x sur [0 ; π]. f'(x) = 1 − 2 sin x s'annule quand sin x = 12, soit en π6 et en 5π6. f' est positive sur [0 ; π6], négative sur [π6 ; 5π6], positive ensuite. Comme f(π6) = π6 + √3 ≈ 2,26 dépasse f(π) = π − 2 ≈ 1,14, le maximum de f sur [0 ; π] vaut π6 + √3.

3. Équations et inéquations sur un intervalle

Pour résoudre cos x = a (avec −1 ≤ a ≤ 1), on cherche une solution connue α dans [0 ; π], puis on lit le cercle : sur ]−π ; π], les solutions sont α et −α (une seule si a = ±1). Pour sin x = a, on part d'une solution α de [−π2 ; π2] : les solutions sont α et π − α, ramenées dans l'intervalle demandé en ajoutant ou en retirant 2π.

Exemple 2. cos x = −12 sur ]−π ; π] : comme cos(2π3) = −12, les solutions sont 2π3 et −2π3.

Exemple 3. sin(2x) = √22 sur [0 ; π]. On note X = 2x, qui parcourt [0 ; 2π] : sin X = √22 donne X = π4 ou X = 3π4, donc x = π8 ou x = 3π8. Change d'intervalle AVANT de résoudre, et ne divise par 2 qu'à la fin.

Exemple 4 : une inéquation. cos x ≤ 12 sur [−π ; π]. Sur le cercle, les points d'abscisse au plus 12 forment l'arc situé à gauche de la verticale d'abscisse 12, d'extrémités associées à −π3 et π3 : S = [−π ; −π3] ∪ [π3 ; π].

À retenir

• sin' = cos et cos' = −sin ; (sin(ax + b))' = a cos(ax + b) et (cos(ax + b))' = −a sin(ax + b).
• Cosinus est paire, sinus est impaire, toutes deux sont 2π-périodiques ; pour a > 0, x ↦ cos(ax) a pour période 2πa.
• Sur ]−π ; π], pour α dans [0 ; π], cos x = cos α équivaut à x = α ou x = −α ; sin x = sin α donne x = α ou x = π − α, à ramener dans l'intervalle.
• Pour une inéquation, on dessine le cercle et on lit l'arc solution.

★ Pour aller plus loin

Pourquoi sin xx tend-il vers 1 en 0 ? Pour 0 < x < π2, en comparant dans le cercle les aires de deux triangles et d'un secteur, on obtient sin x ≤ x ≤ tan x, puis cos x ≤ sin xx ≤ 1 : les gendarmes concluent. D'où l'approximation sin x ≈ x pour les petits angles, utilisée pour le pendule.

En 1822, Joseph Fourier publie sa « Théorie analytique de la chaleur », où il décompose des fonctions périodiques en sommes de sinus et de cosinus. Ces séries de Fourier sont partout : compression du son, imagerie médicale, sismologie.

Et π ? Au IIIᵉ siècle avant notre ère, Archimède l'encadre avec des polygones à 96 côtés : 3 + 1071 < π < 3 + 17.

Sources pour creuser

• Livres : Mickaël Launay, « Le Grand Roman des maths » (Flammarion) ; Mickaël Launay, « Le Théorème du parapluie » (Flammarion).
• Vidéos : chaîne YouTube « Yvan Monka », cherche « Monka dérivée sinus cosinus » et « Monka équation trigonométrique » ; chaîne « Micmaths » de Mickaël Launay.
• Institutionnel : lumni.fr (lycée, mathématiques) ; maths-et-tiques.fr ; eduscol.education.fr (programme de spécialité de Terminale).