Courbes qui sourient, courbes qui boudent : convexité et points d'inflexion

« Les nouveaux cas augmentent encore, mais moins vite : on a passé le point d'inflexion. » Peut-être as-tu entendu cette phrase aux informations. Elle décrit un changement de courbure : la courbe montait en accélérant, elle monte désormais en ralentissant. La dérivée dit si une fonction monte ou descend ; la dérivée seconde dit comment sa courbe se courbe.

1. Fonction convexe, fonction concave

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, de courbe C. La droite (AB) qui relie deux points A et B de C est une sécante ; le segment [AB] est une corde.

• f est convexe sur I si, pour tous points A et B de C, la courbe est située en dessous de la corde [AB], entre A et B.
• f est concave sur I si la courbe est située au-dessus de ses cordes.

La fonction carré est convexe sur R (une courbe en forme de bol, qui « sourit ») ; la fonction racine carrée est concave sur [0 ; +∞[. Une fonction affine est à la fois convexe et concave.

2. Le rôle de la dérivée seconde

Si f est dérivable et si f' est elle-même dérivable, on note f'' la dérivée de f' : c'est la dérivée seconde de f. On admet que, pour f deux fois dérivable sur I :

f convexe sur I ⟺ f' croissante sur I ⟺ f'' ≥ 0 sur I.

De même, f est concave ⟺ f' décroissante ⟺ f'' ≤ 0. Image mentale : quand f' croît, la pente augmente, la courbe se redresse.

Propriété (démontrée). Si f'' ≥ 0 sur I, alors C est au-dessus de chacune de ses tangentes.

Démonstration : soit a dans I, et T la tangente en a, d'équation y = f'(a)(x − a) + f(a). On étudie l'écart g(x) = f(x) − f'(a)(x − a) − f(a). On a g'(x) = f'(x) − f'(a). Comme f' est croissante, g'(x) ≤ 0 pour x ≤ a et g'(x) ≥ 0 pour x ≥ a : g décroît puis croît, et son minimum vaut g(a) = 0. Donc g(x) ≥ 0 sur I : C est au-dessus de T. (Pour f concave, C est en dessous de ses tangentes.)

Exemple 1. exp'' = exp > 0 : la fonction exponentielle est convexe sur R. Sa tangente en 0 a pour équation y = x + 1, d'où : pour tout réel x, eˣ ≥ x + 1.

Exemple 2. Pour x > 0, ln'(x) = 1x et ln''(x) = −1x² < 0 : ln est concave sur ]0 ; +∞[. Sa courbe est sous sa tangente en 1, d'équation y = x − 1 : pour tout x > 0, ln x ≤ x − 1.

3. Points d'inflexion

Un point d'inflexion est un point de la courbe où celle-ci traverse sa tangente. La convexité y change : la fonction passe de concave à convexe, ou l'inverse. Pour f deux fois dérivable, on le repère là où f'' s'annule en changeant de signe.

Exemple 3. f(x) = x³ − 3x² + 1 sur R. On a f'(x) = 3x² − 6x et f''(x) = 6x − 6, négatif pour x < 1 et positif pour x > 1. Donc f est concave sur ]−∞ ; 1], convexe sur [1 ; +∞[, et A(1 ; −1) est un point d'inflexion, car f(1) = 1 − 3 + 1 = −1. La tangente en A a pour coefficient directeur f'(1) = −3, d'où T : y = −3x + 2. En effet f(x) − (−3x + 2) = (x − 1)³ : la courbe passe d'en dessous de T à au-dessus.

Attention : f''(a) = 0 ne suffit pas. Pour f(x) = x⁴, f''(x) = 12x² s'annule en 0 sans changer de signe : f est convexe sur R et l'origine n'est pas un point d'inflexion.

Méthode. Calculer f'', étudier son signe, puis conclure : intervalles de convexité, de concavité, points d'inflexion.

Exemple 4 (cordes). Pour f convexe, le milieu d'une corde est au-dessus du point de la courbe de même abscisse : f(a + b2) ≤ f(a) + f(b)2. Avec exp, a = 0 et b = 2 : e ≤ 1 + e²2, soit 2,718… ≤ 4,194…

À retenir

• f convexe sur I : la courbe est en dessous de ses cordes et au-dessus de ses tangentes ; f concave : c'est l'inverse.
• Pour f deux fois dérivable : f convexe ⟺ f' croissante ⟺ f'' ≥ 0 ; f concave ⟺ f'' ≤ 0.
• Point d'inflexion : la courbe y traverse sa tangente ; il se repère là où f'' s'annule en changeant de signe.
• Deux inégalités classiques : eˣ ≥ x + 1 pour tout réel x, et ln x ≤ x − 1 pour tout x > 0.

★ Pour aller plus loin

Dans les médias, « point d'inflexion » est souvent pris pour « tournant », voire pour « pic ». Sur la courbe des nouveaux cas d'une épidémie, le pic est un maximum (f' = 0) ; le point d'inflexion arrive avant : c'est le moment où la hausse cesse d'accélérer (f'' = 0).

En 1906, le mathématicien danois Johan Jensen publie une inégalité qui étend celle des cordes à des moyennes de plusieurs points. Elle est partout en probabilités, en économie et en physique.

Les ingénieurs adorent la convexité : pour une fonction convexe, un minimum local est forcément le minimum global. Beaucoup d'algorithmes d'apprentissage automatique cherchent à s'y ramener.

Sources pour creuser

• Livres : Mickaël Launay, « Le Théorème du parapluie » (Flammarion) ; Cédric Villani, « Théorème vivant » (Grasset), une recherche mathématique racontée de l'intérieur.
• Vidéos : chaîne YouTube « Yvan Monka » (cherche « Monka convexité » et « Monka point d'inflexion ») ; chaîne « Micmaths » de Mickaël Launay.
• Sites : lumni.fr ; maths-et-tiques.fr ; eduscol.education.fr.