Où va la suite ? Convergence, gendarmes et puissances qⁿ

Lâche une balle de 2 m de haut : chaque rebond la fait remonter aux trois quarts. Les hauteurs 2 ; 1,5 ; 1,125 ; 0,843 75… ne s'annulent jamais, et pourtant la balle finit par s'immobiliser : ses hauteurs « tendent vers 0 ».

1. Les définitions

• (uₙ) tend vers +∞ si tout intervalle ]A ; +∞[ contient tous les termes uₙ à partir d'un certain rang. Pour uₙ = n² et A = 10 000, c'est vrai dès n ≥ 101, et tout A a un tel rang. Même idée pour −∞, avec ]−∞ ; A[.
• (uₙ) converge vers le réel ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes à partir d'un certain rang. Cette limite est unique, notée lim uₙ = ℓ. Ainsi 1n tend vers 0 : pour l'intervalle ]−0,001 ; 0,001[, il suffit que n > 1 000.
• Une suite qui ne converge pas est divergente : elle tend vers l'infini ou n'a pas de limite, comme ((−1)ⁿ) qui alterne 1, −1, 1, −1…

Limites de référence : n, n², √n tendent vers +∞ ; 1n, 1n², 1√n tendent vers 0.

2. Opérations sur les limites

Les limites de sommes, produits et quotients se déduisent de celles des termes, avec la règle des signes : « 3 × (−∞) » donne −∞. Quatre cas échappent aux règles, les formes indéterminées : « +∞ − ∞ », « 0 × ∞ », « ∞∞ » et « 00 ». On transforme alors l'écriture, souvent en factorisant par le terme dominant.

Exemple 1. uₙ = n² − 5n, forme « +∞ − ∞ » : pour n ≥ 1, uₙ = n² × (1 − 5n), et le second facteur tend vers 1, donc lim uₙ = +∞.

Exemple 2. vₙ = 3n + 1n + 4, forme « ∞∞ ». En factorisant par n, vₙ = (3 + 1n) ÷ (1 + 4n), qui tend vers 3.

3. Comparaison et gendarmes

Théorème de comparaison. Si uₙ ≤ vₙ à partir d'un certain rang et si lim uₙ = +∞, alors lim vₙ = +∞.

Démonstration : soit A un réel. On a uₙ > A à partir d'un rang N₁, et uₙ ≤ vₙ à partir d'un rang N₂ ; au-delà des deux, vₙ ≥ uₙ > A, d'où lim vₙ = +∞. (De même vers −∞, avec vₙ ≤ uₙ.)

Théorème des gendarmes (admis). Si vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ à partir d'un certain rang, et si (vₙ) et (wₙ) convergent vers le même réel ℓ, alors (uₙ) converge vers ℓ.

Exemple 3. uₙ = 2 + (−1)ⁿn, pour n ≥ 1. Comme −1 ≤ (−1)ⁿ ≤ 1, on a 2 − 1n ≤ uₙ ≤ 2 + 1n. Les deux gendarmes tendent vers 2 : lim uₙ = 2.

Suites monotones. Croissante et majorée, une suite converge (admis) ; croissante non majorée, elle tend vers +∞ : tout A est dépassé par un uₚ, puis par les suivants.

4. Les suites géométriques

Inégalité de Bernoulli : pour tout réel a > 0 et tout entier naturel n, (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na. Par récurrence : c'est vrai pour n = 0. Si (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na, on multiplie par 1 + a > 0 : (1 + a)ⁿ⁺¹ ≥ (1 + na)(1 + a) = 1 + (n + 1)a + na² ≥ 1 + (n + 1)a.

Si q > 1, on écrit q = 1 + a, a > 0 : qⁿ ≥ 1 + na, qui tend vers +∞, donc qⁿ tend vers +∞ par comparaison. Au total, qⁿ tend vers +∞ si q > 1, vaut 1 si q = 1, tend vers 0 si −1 < q < 1, n'a pas de limite si q ≤ −1.

Pour q ≠ 1, 1 + q + … + qⁿ = 1 − qⁿ⁺¹1 − q, qui tend vers 11 − q si −1 < q < 1.

Exemple 4. Après n rebonds, la balle remonte à 2 × 0,75ⁿ m, qui tend vers 0. Sa distance parcourue (chute, montées, descentes) tend vers 2 + 2 × 1,5 × 11 − 0,75 = 14 m : une infinité de rebonds, une distance finie !

À retenir

• lim uₙ = ℓ : tout intervalle ouvert contenant ℓ contient les uₙ à partir d'un certain rang (]A ; +∞[ pour +∞).
• Formes indéterminées « ∞ − ∞ », « 0 × ∞ », « ∞∞ », « 00 » : factoriser par le terme dominant.
• Comparaison : si uₙ ≤ vₙ et lim uₙ = +∞, alors lim vₙ = +∞. Gendarmes : si vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ et lim vₙ = lim wₙ = ℓ, alors lim uₙ = ℓ.
• qⁿ tend vers +∞ si q > 1, vers 0 si −1 < q < 1 ; sans limite si q ≤ −1.

★ Pour aller plus loin

Au Vᵉ siècle av. n. è., Zénon d'Élée « prouvait » qu'Achille ne rattraperait jamais une tortue, qui avance pendant qu'il rejoint sa position précédente. Or une infinité de durées peut avoir une somme finie, comme 12 + 14 + 18 + … qui tend vers 1.

Des termes qui tendent vers 0 ne suffisent pas : 1 + 12 + 13 + … + 1n tend vers +∞ (Nicole Oresme, XIVᵉ siècle), si lentement qu'il faut 12 367 termes pour dépasser 10.

La définition rigoureuse de la limite ne date que du XIXᵉ siècle, avec Cauchy puis Weierstrass.

Sources pour creuser

• Livres : Mickaël Launay, « Le Grand Roman des maths » (Flammarion) ; Denis Guedj, « Le Théorème du perroquet » (Seuil).
• Vidéos : chaîne YouTube « Yvan Monka » (cherche « Monka limite suite », « Monka gendarmes ») ; chaîne « Micmaths ».
• Sites : lumni.fr ; maths-et-tiques.fr ; eduscol.education.fr.