Le calque et l'équerre : je complète une figure par symétrie axiale

Plie une feuille en deux, dessine la moitié d'un cœur contre le pli, découpe en suivant ton trait… et déplie : un cœur parfait apparaît ! Les deux moitiés sont exactement pareilles, mais « retournées », comme ton visage et son reflet dans un miroir. Ce tour de magie porte un nom : la symétrie axiale. Tu la croises partout : ailes de papillon, feuilles d'arbre, façades de château. Aujourd'hui, tu apprends à compléter une figure par symétrie et à trouver ses axes, avec du calque, une équerre et un compas.

1. Deux figures symétriques

Deux figures sont symétriques par rapport à une droite quand, si l'on plie la feuille le long de cette droite, elles se superposent exactement. Cette droite s'appelle l'axe de symétrie.

Ce que la symétrie conserve, et ce qu'elle change :

• les longueurs sont conservées : un segment de 4 cm a pour symétrique un segment de 4 cm ;
• les angles et les formes sont conservés : le symétrique d'un carré est un carré de la même taille ;
• mais la figure est retournée, comme dans un miroir : une main gauche devient une main droite.

Le secret du point symétrique. Si A' (on lit « A prime ») est le symétrique du point A par rapport à l'axe :

• le segment [AA'] est perpendiculaire à l'axe ;
• A et A' sont à la même distance de l'axe : l'axe coupe le segment [AA'] en son milieu.

Un point situé sur l'axe est son propre symétrique : il ne bouge pas.

2. Trois méthodes pour compléter une figure

Méthode 1 : sur un quadrillage, je compte les carreaux. Quand l'axe suit une ligne du quadrillage, c'est le plus simple.

Exemple 1. L'axe est vertical. Le point A est à 3 carreaux à gauche de l'axe : son symétrique A' est sur la même ligne horizontale, à 3 carreaux à droite de l'axe. Le point B est à 1 carreau à gauche de l'axe : B' est à 1 carreau à droite, à la même hauteur que B. On trouve ainsi le symétrique de chaque sommet, puis on les joint dans le même ordre que sur la figure de départ. Avec un axe horizontal, on compte vers le haut ou vers le bas.

Méthode 2 : le papier calque.

1. Décalque la figure et l'axe.
2. Retourne le calque autour de l'axe, comme on tourne une page, et replace son axe exactement sur l'axe de la feuille.
3. Repasse fort sur les traits : leur marque apparaît sur la feuille, il ne reste qu'à la repasser au crayon.

Méthode 3 : l'équerre et le compas, quand il n'y a pas de quadrillage. Pour construire A', le symétrique de A :

1. Place l'équerre le long de l'axe et trace la droite perpendiculaire à l'axe qui passe par A. Elle coupe l'axe en un point : appelle-le H.
2. Pique la pointe du compas sur H et écarte-le jusqu'à A.
3. Trace un petit arc de l'autre côté de l'axe, sur la perpendiculaire : le point où il la coupe, c'est A'. (Tu peux aussi mesurer HA à la règle et reporter la même longueur.)

Exemple 2. Pour le triangle ABC, A est à 2 cm de l'axe, B à 5 cm, et C est sur l'axe. On construit A' à 2 cm de l'autre côté, B' à 5 cm, et C reste à sa place. Le triangle A'B'C a les mêmes côtés que ABC : si AB mesure 3,5 cm, A'B' mesure aussi 3,5 cm. Bonne façon de vérifier ton tracé !

3. Trouver les axes de symétrie d'une figure

Une figure possède un axe de symétrie si une droite la partage en deux moitiés qui se superposent par pliage. Pour le trouver, on plie la figure, ou on retourne un calque.

Exemple 3. Quelques figures à connaître :

• le carré : 4 axes (les 2 droites qui passent par les milieux des côtés opposés, et les 2 diagonales) ;
• le rectangle : 2 axes seulement, ceux qui passent par les milieux des côtés opposés ;
• le losange : 2 axes, ses diagonales ;
• le triangle équilatéral : 3 axes ; le triangle isocèle (non équilatéral) : 1 axe ;
• le cercle : une infinité d'axes, toutes les droites qui passent par son centre ;
• certaines figures n'en ont aucun, comme la lettre F ou un parallélogramme « penché ».

Le piège du rectangle. On croit souvent que ses diagonales sont des axes. Fais le test : découpe un rectangle de papier et plie-le le long d'une diagonale. Les deux moitiés ne se superposent pas, des coins dépassent !

À retenir

• Deux figures symétriques par rapport à un axe se superposent quand on plie le long de cet axe.
• Le symétrique d'un point est de l'autre côté de l'axe, à la même distance, sur une perpendiculaire à l'axe.
• La symétrie conserve les longueurs, les angles et les formes, mais elle retourne la figure.
• Pour compléter une figure, je construis le symétrique de chaque sommet (quadrillage, calque, ou équerre et compas), puis je les joins dans le même ordre.
• Le rectangle a 2 axes de symétrie, le carré 4, le cercle une infinité.

★ Pour aller plus loin

Sur le capot de certaines ambulances, le mot AMBULANCE est écrit en écriture miroir, à l'envers. Pourquoi ? Pour que le conducteur qui la voit arriver dans son rétroviseur puisse le lire à l'endroit !

Léonard de Vinci écrivait souvent ses carnets de droite à gauche, en écriture miroir : pour les lire facilement, il faut… un miroir !

En 6e, tu découvriras la médiatrice d'un segment, un axe de symétrie dont tous les points sont à égale distance des deux extrémités du segment. En 5e viendra la symétrie centrale, un demi-tour autour d'un point.