Les raccourcis du calcul mental : compléments, doubles, ×25 et ×50

À la boulangerie, tu achètes ton goûter à 3,40 € et tu tends un billet de 5 €. Avant même que la boulangère ouvre sa caisse, tu sais qu'elle doit te rendre 1,60 €. Comment ? Grâce au calcul mental ! Ce n'est pas un don réservé à quelques génies : c'est une boîte à outils. Avec quelques raccourcis bien choisis, tu calcules vite, sans papier… et tu repères les erreurs, même celles d'une calculatrice mal utilisée.

1. Les compléments : faire des bonds

Chercher le complément, c'est trouver ce qu'il faut ajouter pour atteindre un nombre rond. L'astuce : avancer par bonds, d'abord jusqu'à la dizaine, puis jusqu'à la centaine.

Exemple 1. Combien faut-il ajouter à 645 pour obtenir 1 000 ?

• de 645 à 650 : 5 ;
• de 650 à 700 : 50 ;
• de 700 à 1 000 : 300.

En tout : 5 + 50 + 300 = 355. Vérification : 645 + 355 = 1 000.

Avec les nombres décimaux, c'est pareil. Pour la boulangerie : de 3,40 € à 4 €, il manque 0,60 € ; de 4 € à 5 €, il manque 1 €. La monnaie à rendre est donc 1,60 €. Et pour aller de 0,35 à 1, il faut 0,65, car 35 centièmes + 65 centièmes = 100 centièmes.

2. Doubles et moitiés : découper le nombre

Pour doubler ou partager en deux un nombre, je le découpe en morceaux faciles.

• Double de 48 = double de 40 + double de 8 = 80 + 16 = 96.
• Double de 3,7 = double de 3 + double de 0,7 = 6 + 1,4 = 7,4.
• Moitié de 76 = moitié de 70 + moitié de 6 = 35 + 3 = 38.
• Moitié de 45 = moitié de 44 + moitié de 1 = 22 + 0,5 = 22,5. La moitié d'un nombre impair n'est pas un nombre entier !

3. Multiplier et diviser par 10 et par 100

Quand on multiplie par 10, chaque chiffre prend une valeur 10 fois plus grande : il se décale d'un rang vers la gauche. Avec 100, il se décale de deux rangs. Quand on divise, les chiffres se décalent vers la droite.

• 3,7 × 10 = 37 (les 7 dixièmes deviennent 7 unités) ;
• 2,5 × 100 = 250 ;
• 307 ÷ 10 = 30,7 ;
• 45 ÷ 100 = 0,45.

Attention : « ajouter un zéro » ne marche que pour les nombres entiers. 3,7 × 10 ne fait surtout pas 3,70, qui vaut toujours 3,7 !

4. Multiplier et diviser par 50 et par 25

Le secret : 50 est la moitié de 100, et 25 en est le quart, car 4 × 25 = 100.

• × 50 : je multiplie par 100, puis je prends la moitié. 36 × 50 = 3 600 ÷ 2 = 1 800.
• × 25 : je multiplie par 100, puis je prends la moitié de la moitié. 28 × 25 = 2 800 ÷ 4 = 700 (2 800 → 1 400 → 700).
• ÷ 50 : je divise par 100, puis je double. 450 ÷ 50 = 4,5 × 2 = 9.
• ÷ 25 : je divise par 100, puis je multiplie par 4. 300 ÷ 25 = 3 × 4 = 12.

Exemple 2. Pour la kermesse, il faut 24 paquets de bonbons à 25 centimes. Je calcule 24 × 25 : 24 ÷ 4 = 6, puis 6 × 100 = 600 centimes, soit 6 €.

5. Contrôler un résultat

Un bon calculateur vérifie toujours. Voici trois contrôles rapides :

• L'ordre de grandeur. 48 × 21, c'est environ 50 × 20 = 1 000. Le résultat 1 008 est plausible, mais 108 ou 10 080 sont forcément faux.
• Le chiffre des unités. Pour 47 × 38, je calcule seulement 7 × 8 = 56 : le résultat doit se terminer par 6. On trouve 1 786 : c'est cohérent. Un résultat qui se termine par 4 serait faux.
• L'opération inverse. J'ai trouvé 700 ÷ 25 = 28 ? Je vérifie : 28 × 25 = 700. C'est juste !

Exemple 3. Lina annonce : « 52 × 19 = 9 880. » L'ordre de grandeur est 50 × 20 = 1 000, et 2 × 9 = 18 annonce un résultat terminé par 8. Son résultat est faux deux fois ! Le bon résultat est 988.

À retenir

• Pour un complément, j'avance par bonds jusqu'au nombre rond.
• Pour un double ou une moitié, je découpe le nombre en morceaux faciles.
• × 10 ou × 100 : les chiffres se décalent de 1 ou 2 rangs vers la gauche ; ÷ 10 ou ÷ 100 : vers la droite.
• × 50 = × 100 puis moitié ; × 25 = × 100 puis moitié de la moitié.
• Je contrôle avec l'ordre de grandeur, le chiffre des unités ou l'opération inverse.

★ Pour aller plus loin

Le tour du 11 : pour multiplier par 11 un nombre de deux chiffres dont la somme des chiffres est plus petite que 10, on écarte les deux chiffres et on glisse leur somme au milieu. 23 × 11 : 2, puis 2 + 3 = 5, puis 3 → 253.

Le tour du 9 : multiplier par 9, c'est multiplier par 10 puis enlever le nombre une fois. 9 × 47 = 470 − 47 = 423.

Autrefois, les écoliers vérifiaient leurs multiplications avec la célèbre « preuve par 9 ». Elle repère beaucoup d'erreurs, mais pas toutes : si l'on inverse deux chiffres du résultat, par exemple, elle ne voit rien. C'est pour cela qu'un ordre de grandeur reste toujours utile !