Multiples et diviseurs : les critères qui font gagner du temps

Ton club de sport compte 24 enfants et l'entraîneur veut faire des équipes égales, sans laisser personne de côté. Des équipes de 2 ? De 3 ? De 5 ? Au supermarché, les œufs se vendent par boîtes de 6 ou de 12 : peut-on ranger 90 œufs dans des boîtes de 6 toutes pleines ? Pour répondre vite, sans poser la moindre division, les mathématiciens ont inventé des outils malins : les multiples, les diviseurs et les critères de divisibilité.

1. Multiples et diviseurs : deux façons de dire la même chose

On a 35 = 5 × 7. On peut le dire de deux façons :

• 35 est un multiple de 5 (et aussi un multiple de 7) : il apparaît dans la table de 5 ;
• 5 est un diviseur de 35 : quand on divise 35 par 5, on tombe juste, il n'y a pas de reste. On dit aussi que 35 est divisible par 5.

Les multiples de 4 sont les nombres de la table de 4, qui continue sans fin : 4, 8, 12, 16, 20, 24…

Exemple 1 : trouver tous les diviseurs de 24. Je cherche toutes les paires de nombres dont le produit fait 24 :

• 1 × 24 = 24
• 2 × 12 = 24
• 3 × 8 = 24
• 4 × 6 = 24

Les diviseurs de 24 sont donc : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24. Pour ton club de sport, on peut faire des équipes de 2, 3, 4, 6, 8 ou 12 enfants, mais pas de 5 : 24 n'est pas dans la table de 5.

2. Les critères de divisibilité

Pour un grand nombre, chercher dans les tables devient long. Heureusement, il existe des critères, des règles qui permettent de savoir tout de suite si un nombre est divisible.

Les critères qui regardent le dernier chiffre (le chiffre des unités) :

• par 2 : le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. Ce sont les nombres pairs.
• par 5 : le chiffre des unités est 0 ou 5.
• par 10 : le chiffre des unités est 0.

Les critères qui regardent la somme des chiffres :

• par 3 : la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
• par 9 : la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

Exemple 2 : le nombre 4 572.

• Son chiffre des unités est 2 : il est divisible par 2, mais pas par 5, ni par 10.
• La somme de ses chiffres : 4 + 5 + 7 + 2 = 18. Or 18 est dans la table de 3 et dans la table de 9 : 4 572 est divisible par 3 et par 9. Vérification : 4 572 = 9 × 508.

Exemple 3 : le nombre 3 135.

• Il se termine par 5 : divisible par 5, mais pas par 2, ni par 10.
• 3 + 1 + 3 + 5 = 12 : 12 est un multiple de 3, mais pas de 9. Donc 3 135 est divisible par 3, mais pas par 9.

Pour les 90 œufs du début : 9 + 0 = 9, multiple de 3, et 90 se termine par 0, donc il est pair. Un nombre divisible à la fois par 2 et par 3 est divisible par 6 : 90 = 6 × 15, soit 15 boîtes pleines.

3. Les liens entre les critères

Quelques remarques qui évitent bien des erreurs :

• Un nombre divisible par 10 est toujours divisible par 2 et par 5 (il se termine par 0).
• Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3, car 9 = 3 × 3. Mais l'inverse est faux : 12 est divisible par 3, pas par 9.
• Attention au piège : pour 3 et 9, on ne regarde pas le dernier chiffre ! 13 se termine par 3 mais n'est pas divisible par 3, alors que 27 est divisible par 3 et se termine par 7.

À retenir

• 35 = 5 × 7 : 35 est un multiple de 5, et 5 est un diviseur de 35 (la division tombe juste).
• Divisible par 2 : unités 0, 2, 4, 6, 8. Par 5 : unités 0 ou 5. Par 10 : unités 0.
• Divisible par 3 (ou par 9) : la somme des chiffres est un multiple de 3 (ou de 9).
• Pour trouver tous les diviseurs d'un nombre, je cherche toutes les paires dont le produit donne ce nombre.

★ Pour aller plus loin

Certains nombres n'ont que deux diviseurs : 1 et eux-mêmes. On les appelle les nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… Au IIIᵉ siècle av. n. è., le savant grec Ératosthène a inventé une méthode, le « crible », pour les trouver : on écrit les nombres à partir de 2, puis on barre les multiples de 2 (sauf 2 lui-même), ceux de 3 (sauf 3), ceux de 5 (sauf 5), et ainsi de suite. Les nombres qui restent sont premiers !

Il existe d'autres critères : un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. Par exemple, 7 316 est divisible par 4, car 16 l'est.

Enfin, certains nombres sont dits parfaits : ils sont égaux à la somme de leurs diviseurs, sans compter eux-mêmes. C'est le cas de 6 = 1 + 2 + 3, et de 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.