Dixièmes, centièmes, millièmes : de la fraction à la virgule

Le 16 août 2009, à Berlin, Usain Bolt a couru le 100 mètres en 9,58 secondes, un record du monde resté célèbre. Pourquoi une virgule dans ce temps ? Parce qu'une seconde, c'est trop grossier pour départager les meilleurs sprinteurs : on la découpe en centièmes. Ce chrono signifie 9 secondes et 58 centièmes de seconde. Aujourd'hui, tu vas comprendre le lien entre ces nombres à virgule et les fractions, puis apprendre à les comparer, les ranger, les encadrer… et même à en glisser un entre deux autres.

1. Les fractions décimales

Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1 000…

• 110 = 0,1 : un dixième, l'unité partagée en 10 ;
• 1100 = 0,01 : un centième, l'unité partagée en 100 ;
• 11000 = 0,001 : un millième, l'unité partagée en 1 000.

Dans un nombre décimal, chaque chiffre après la virgule a sa place :

partie entière	,	dixièmes	centièmes	millièmes
4	,	0	5	6

Dans 4,056, le chiffre des dixièmes est 0, celui des centièmes est 5, celui des millièmes est 6.

2. De la fraction à la virgule, et retour

Le dénominateur indique le nombre de chiffres après la virgule : 10 → un chiffre, 100 → deux chiffres, 1 000 → trois chiffres.

Exemple 1.

• 3710 = 3,7 (37 dixièmes, c'est 3 unités et 7 dixièmes) ;
• 245100 = 2,45 ;
• 40561000 = 4,056 ;
• 81000 = 0,008 : il faut trois chiffres après la virgule, on complète avec des zéros.

Dans l'autre sens : 6,25 = 625100 et 0,3 = 310.

On peut aussi décomposer : 4,056 = 4 + 5100 + 61000, ou encore 4 + 561000.

3. Comparer et ranger

La méthode : je compare d'abord les parties entières. Si elles sont égales, je compare les dixièmes, puis les centièmes, puis les millièmes.

L'astuce des zéros : un zéro ajouté à la fin de la partie décimale ne change pas la valeur : 2,5 = 2,50 = 2,500. On s'en sert pour donner aux nombres le même nombre de chiffres après la virgule.

Exemple 2. Qui est le plus grand, 2,5 ou 2,47 ? J'écris 2,50 et 2,47 : 50 centièmes, c'est plus que 47 centièmes. Donc 2,5 > 2,47. Attention au piège : 2,47 a plus de chiffres, mais il est plus petit !

Pour ranger 3,2 ; 3,08 ; 3,15 et 3,1 dans l'ordre croissant, j'écris 3,20 ; 3,08 ; 3,15 ; 3,10. Je range les centièmes : 08, 10, 15, 20. Résultat : 3,08 < 3,1 < 3,15 < 3,2.

4. Encadrer et intercaler

Encadrer, c'est coincer un nombre entre deux nombres plus simples. Voici trois encadrements de 7,384 :

• à l'unité : 7 < 7,384 < 8 ;
• au dixième : 7,3 < 7,384 < 7,4 ;
• au centième : 7,38 < 7,384 < 7,39.

Intercaler, c'est trouver un nombre qui se glisse entre deux autres. Entre 2,3 et 2,4, j'écris 2,30 et 2,40 : les nombres 2,31 ; 2,35 ; 2,39… se glissent entre eux. Et entre 1,25 et 1,26 ? J'écris 1,250 et 1,260 : 1,251 ou 1,255 conviennent, grâce aux millièmes.

Exemple 3. À la course de l'école, Emma fait 12,45 s et Nina 12,5 s. Comme 12,45 < 12,50, c'est Emma qui a mis le moins de temps : elle est la plus rapide. Un troisième coureur arrive entre les deux ? Son temps est par exemple 12,48 s.

À retenir

• 110 = 0,1 ; 1100 = 0,01 ; 11000 = 0,001.
• Le dénominateur 10, 100 ou 1 000 donne le nombre de chiffres après la virgule : 245100 = 2,45.
• Pour comparer, je regarde la partie entière, puis les dixièmes, les centièmes, les millièmes. Un zéro ajouté à la fin ne change rien : 2,5 = 2,50.
• On peut toujours intercaler un nombre décimal entre deux autres : il suffit d'ajouter un rang.

★ Pour aller plus loin

En 1585, l'ingénieur flamand Simon Stevin publie un petit livre, La Disme, pour convaincre marchands et ingénieurs d'utiliser les nombres décimaux. Il y montre que l'on calcule avec eux presque aussi facilement qu'avec les nombres entiers.

En France, on sépare la partie entière et la partie décimale par une virgule : 2,5. Dans les pays de langue anglaise, on utilise un point : 2.5. C'est aussi un point que tu verras sur beaucoup de calculatrices.

Entre 0 et 1, combien y a-t-il de nombres décimaux ? Une infinité ! Entre deux d'entre eux, on peut toujours en glisser un autre, puis un autre encore, sans jamais s'arrêter. Aux Jeux olympiques, en luge, les chronomètres vont d'ailleurs jusqu'au millième de seconde pour départager les athlètes.