Fractions sur la droite graduée : je place, j'encadre, j'additionne

Pendant une randonnée, le guide annonce : « Nous avons déjà parcouru 74 de kilomètre ! » Tu te demandes aussitôt : est-ce plus d'un kilomètre ? Moins de deux ? Et si l'on marche encore 34 de kilomètre, où en sera-t-on ? Pour répondre, tu vas apprendre à placer une fraction sur une droite graduée, à l'encadrer entre deux nombres entiers et à additionner des fractions.

1. Ce que dit une fraction

Dans 74 :

• le nombre du bas, le dénominateur (4), indique en combien de parts égales on partage l'unité : ici en quarts ;
• le nombre du haut, le numérateur (7), indique combien de parts on prend : ici 7 quarts.

Une unité peut être un kilomètre, une pizza, une tablette de chocolat… ou l'espace entre 0 et 1 sur une droite graduée.

2. Placer une fraction sur une droite graduée

La méthode en deux temps :

1. Je lis le dénominateur : il me dit en combien de parts égales je partage chaque unité (l'espace entre 0 et 1, puis entre 1 et 2, etc.).
2. Je lis le numérateur : je compte autant de petites graduations à partir de 0.

Exemple 1 : placer 74. Chaque unité est partagée en 4. Je compte 7 graduations depuis 0. Au bout de 4 graduations, j'arrive sur 1, car 44 = 1. Il me reste 3 graduations à compter : 74 se trouve sur la 3ᵉ graduation après 1.

0 1 2
|--+--+--+--|--+--+--+--|
 ^
 7/4

Les nombres entiers sont eux aussi des fractions : 1 = 44, 2 = 84, 3 = 124. Ce sont des repères très utiles pour compter plus vite.

3. Encadrer une fraction entre deux entiers

Encadrer, c'est trouver les deux nombres entiers qui se suivent et qui « entourent » la fraction.

L'astuce : je cherche les deux multiples du dénominateur qui entourent le numérateur.

Exemple 2 : encadrer 175. Les multiples de 5 sont 5, 10, 15, 20… Or 15 < 17 < 20. Comme 155 = 3 et 205 = 4, on obtient :

3 < 175 < 4

On peut même être plus précis : 175 = 3 + 25, c'est-à-dire 3 unités et encore 2 cinquièmes.

Pour aller vite, compare le numérateur et le dénominateur :

• numérateur plus petit que le dénominateur → la fraction est entre 0 et 1 (exemple : 35) ;
• numérateur égal au dénominateur → la fraction vaut 1 (exemple : 55) ;
• numérateur plus grand → la fraction dépasse 1 (exemple : 75).

4. Additionner des fractions de même dénominateur

Exemple 3 : la pizza. Tu manges 38 d'une pizza et ta sœur en mange 28. Les parts ont toutes la même taille : des huitièmes. Vous avez mangé 3 parts + 2 parts = 5 parts, donc :

38 + 28 = 58

La règle : quand les dénominateurs sont égaux, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur. Le dénominateur donne la taille des parts : elle ne change pas quand on les rassemble.

Le piège à éviter : écrire 38 + 28 = 516. C'est impossible ! Des seizièmes sont deux fois plus petits que des huitièmes : 516, c'est seulement la moitié de 58. La moitié de la pizza mangée aurait disparu !

Revenons à la randonnée : 74 + 34 = 104. Sur la droite graduée, additionner, c'est avancer : depuis 74, on avance de 3 graduations. Comme 8 < 10 < 12, on a 2 < 104 < 3 : vous aurez marché entre 2 et 3 kilomètres.

À retenir

• Le dénominateur dit en combien de parts égales on partage l'unité ; le numérateur dit combien de parts on prend.
• Pour placer une fraction, je partage chaque unité selon le dénominateur et je compte, depuis 0, autant de graduations que le numérateur.
• Pour encadrer, je cherche les multiples du dénominateur qui entourent le numérateur : 8 < 11 < 12, donc 2 < 114 < 3.
• Pour additionner deux fractions de même dénominateur, j'additionne les numérateurs et je garde le dénominateur.

★ Pour aller plus loin

Il y a plus de 3 500 ans, les scribes égyptiens calculaient déjà avec des fractions. Mais ils utilisaient presque uniquement des fractions de numérateur 1 ! Pour écrire 34, ils notaient 12 + 14. On retrouve ces calculs sur le papyrus Rhind, conservé aujourd'hui au British Museum de Londres.

Le mot « fraction » vient du latin frangere, qui veut dire « briser » : une fraction, c'est un morceau d'une unité brisée en parts égales.

Les musiciens aussi additionnent des fractions sans le savoir : une noire dure le quart d'une ronde. Quatre noires, c'est 44 de ronde, soit une ronde entière.