Le pli magique : je trouve l'axe de symétrie et je complète une figure

Prends une feuille, plie-la en deux, et découpe un demi-cœur le long du pli. Déplie : tu obtiens un cœur entier, avec deux moitiés exactement pareilles ! Ce tour de magie, tu l'as sûrement déjà fait pour la fête des mères. Eh bien, c'est de la géométrie : ça s'appelle la symétrie axiale. Un papillon, une feuille d'arbre, la lettre A… tous ont cette propriété. Aujourd'hui, tu vas apprendre à repérer l'axe de symétrie d'une figure et à compléter une figure « en miroir » sur un quadrillage.

Qu'est-ce qu'un axe de symétrie ?

Une figure a un axe de symétrie quand on peut la plier le long d'une droite de façon que les deux moitiés se superposent exactement. Cette droite de pliage, c'est l'axe de symétrie. On le dessine souvent en pointillés.

Si tu plies ton cœur en papier le long de son pli, la moitié gauche recouvre parfaitement la moitié droite : le pli est l'axe de symétrie. Si tu essaies de le plier dans un autre sens, les deux parties dépassent : ce n'est pas un axe.

Exemple 1. Le papillon. Si tu traces une droite verticale au milieu de son corps, l'aile gauche se replie exactement sur l'aile droite. Le papillon a un axe de symétrie. Mais une droite horizontale, qui couperait ses ailes en haut et en bas ? Les ailes du haut sont plus grandes que celles du bas : les deux moitiés ne se superposent pas. Ce n'est pas un axe.

Une figure peut avoir plusieurs axes… ou aucun

Certaines figures sont très symétriques. Le carré a 4 axes de symétrie : un vertical, un horizontal, et les deux diagonales. Le rectangle n'en a que 2 : le vertical et l'horizontal (essaie de plier un rectangle en diagonale : ça ne marche pas, les coins dépassent !). Le rond en a une infinité : n'importe quelle droite qui passe par son centre.

D'autres figures n'ont aucun axe de symétrie. La lettre F, par exemple : de quelque façon que tu la plies, les deux parties ne se superposent jamais. Pareil pour la lettre N ou pour un parallélogramme penché.

Exemple 2. Les lettres majuscules. A, M, T, V ont un axe vertical. B, C, D, E ont un axe horizontal. H, I, O, X ont les deux ! Et F, G, J, L, N, P, R, S n'en ont aucun.

Le test du miroir

Pas besoin de plier la feuille à chaque fois. Pose un petit miroir debout sur la figure, le long de la droite que tu veux tester. Si l'image dans le miroir reconstitue exactement la figure, la droite est un axe de symétrie. C'est un très bon outil pour vérifier ton travail.

Compléter une figure sur un quadrillage

Souvent, on te donne la moitié d'une figure sur un quadrillage, avec l'axe tracé, et on te demande de dessiner l'autre moitié. Voici la méthode, point par point :

1. Choisis un sommet de la figure donnée.
2. Compte combien de carreaux le séparent de l'axe, en allant perpendiculairement à l'axe (tout droit, à angle droit, jamais en biais).
3. Compte le même nombre de carreaux de l'autre côté de l'axe, sur la même ligne : marque le point.
4. Recommence pour chaque sommet, puis relie les points dans le même ordre que sur la figure de départ.

Exemple 3. L'axe est vertical. Un sommet est à 3 carreaux à gauche de l'axe, sur la ligne 2. Son image est à 3 carreaux à droite de l'axe, toujours sur la ligne 2. Un autre sommet est à 1 carreau à gauche, ligne 5 : son image est à 1 carreau à droite, ligne 5. Un point qui est sur l'axe reste à sa place : il est sa propre image.

Deux pièges à éviter : ne te trompe pas de ligne (le point et son image sont toujours face à face, à la même hauteur si l'axe est vertical), et ne recopie pas la figure au même endroit en la décalant : il faut la retourner, comme dans un miroir. Ce qui était à gauche passe à droite.

Vérifier son travail

Quand tu as fini, replie mentalement la feuille le long de l'axe (ou plie-la pour de vrai si c'est une feuille volante) : les deux moitiés doivent coïncider. Tu peux aussi vérifier que chaque segment de la figure a la même longueur que son image : un segment de 4 carreaux donne un segment de 4 carreaux.

À retenir

• Un axe de symétrie est une droite le long de laquelle on peut plier la figure pour que les deux moitiés se superposent exactement.
• Une figure peut avoir un axe, plusieurs axes (carré : 4) ou aucun (lettre F).
• Pour vérifier un axe, j'utilise le pliage ou un miroir.
• Sur un quadrillage, chaque point et son image sont à la même distance de l'axe, face à face.
• Un point situé sur l'axe ne bouge pas.

★ Pour aller plus loin

La symétrie est partout dans la nature, mais rarement parfaite. Ton visage semble symétrique, pourtant si tu assembles deux moitiés gauches de ta photo, tu obtiens un visage un peu différent du tien ! Les flocons de neige, eux, ont 6 axes de symétrie, et pourtant il n'y a pas deux flocons identiques.

Il existe d'autres symétries. Une étoile de mer ou une roue de vélo ont une symétrie de rotation : si on les fait tourner, elles reviennent sur elles-mêmes. Les frises sur les murs des temples grecs répètent un motif en le faisant glisser : c'est une symétrie de translation. Tu les étudieras au collège.

Les architectes adorent la symétrie : le château de Versailles, le Taj Mahal ou la Grande Mosquée de Casablanca ont une façade symétrique, qui donne une impression d'équilibre. Cherche l'axe des bâtiments de ta ville !