Partager sans se disputer : la division, avec ou sans reste

Tu as un paquet de 12 bonbons et tu veux les partager avec tes 3 cousins, sans dispute : chacun doit en avoir autant que les autres. Tu en donnes un à chacun, puis encore un, puis encore un… À la fin, chaque enfant en a 3, et il n'en reste aucun. Bravo, tu viens de faire une division ! La division, c'est l'opération du partage et des groupes. Aujourd'hui, tu vas apprendre à la faire avec des nombres, et à savoir quoi faire quand « il en reste ».

Partager en parts égales

Partager, c'est distribuer une quantité en parts égales. On écrit cette opération avec le signe ÷ (on lit « divisé par »).

12 bonbons partagés entre 4 enfants : 12 ÷ 4 = 3. Chaque enfant reçoit 3 bonbons.

Comment trouver le résultat sans distribuer un par un ? Avec la multiplication à l'envers ! Je me demande : « 4 fois combien font 12 ? » Je connais ma table de 4 : 4 × 3 = 12. Donc 12 ÷ 4 = 3. La division et la multiplication sont deux amies qui marchent l'une à l'envers de l'autre.

Exemple 1. Mamie a fait 20 crêpes pour 5 gourmands. Combien de crêpes pour chacun ? Je cherche : 5 × ? = 20. Table de 5 : 5 × 4 = 20. Donc 20 ÷ 5 = 4. Chacun mange 4 crêpes.

Grouper : faire des paquets

La division sert aussi à faire des groupes. Cette fois, on connaît la taille d'un paquet, et on cherche combien de paquets on peut faire.

Exemple 2. Tu as 18 œufs et des boîtes de 6. Combien de boîtes remplis-tu ? Je cherche : 6 × ? = 18. Table de 6 : 6 × 3 = 18. Donc 18 ÷ 6 = 3. Tu remplis 3 boîtes.

Partager ou grouper, c'est toujours la même opération. Ce qui change, c'est la question posée : « combien dans chaque part ? » ou « combien de parts ? ».

Et quand il en reste ?

Reprends tes bonbons. Cette fois, tu en as 14, toujours pour 4 enfants. Tu distribues : 1 chacun (il en reste 10), 2 chacun (il en reste 6), 3 chacun (il en reste 2). Tu ne peux pas en donner un quatrième à chacun : il n'y en a que 2 ! Ces 2 bonbons qui ne peuvent pas être partagés équitablement, c'est le reste.

On écrit : 14 = (4 × 3) + 2. On lit : « 14 divisé par 4, ça fait 3, et il reste 2. »

Pour trouver vite le résultat, je cherche dans la table de 4 le plus grand nombre qui ne dépasse pas 14 : 4 × 3 = 12 (ça va), 4 × 4 = 16 (trop grand !). Donc je prends 3, et le reste est 14 − 12 = 2.

Règle importante : le reste est toujours plus petit que le nombre par lequel on divise. Si tu trouves un reste de 5 en divisant par 4, c'est que tu peux encore donner un bonbon à chacun !

Exemple 3. Il y a 23 élèves. On forme des équipes de 5 pour un jeu. Combien d'équipes complètes, et combien d'élèves sans équipe ? Table de 5 : 5 × 4 = 20 (ça va), 5 × 5 = 25 (trop grand). Donc 4 équipes complètes, et 23 − 20 = 3 élèves en attente. On écrit : 23 = (5 × 4) + 3.

Le vocabulaire de la division

Dans 14 = (4 × 3) + 2 :

• 14 est le nombre à partager, le dividende ;
• 4 est le nombre par lequel on divise, le diviseur ;
• 3 est le résultat, le quotient ;
• 2 est le reste.

Quand le reste est 0, on dit que la division « tombe juste » : 12 ÷ 4 = 3 tombe juste.

La vérification magique

Pour être sûr de ne pas s'être trompé, on vérifie toujours : diviseur × quotient + reste = dividende. Pour 23 et 5 : 5 × 4 + 3 = 20 + 3 = 23. C'est bon ! Si tu ne retombes pas sur le nombre de départ, cherche ton erreur.

À retenir

• Diviser, c'est partager en parts égales ou faire des groupes de même taille.
• Pour calculer, je pense à la multiplication à l'envers : « 4 fois combien ? ».
• Quand ça ne tombe pas juste, il y a un reste, toujours plus petit que le diviseur.
• J'écris le résultat sous la forme : dividende = (diviseur × quotient) + reste.
• Je vérifie : diviseur × quotient + reste doit redonner le nombre de départ.

★ Pour aller plus loin

As-tu remarqué qu'il y a une chose que l'on ne peut jamais faire ? Diviser par zéro ! Partager 12 bonbons entre 0 enfants, cela n'a aucun sens. Même les ordinateurs affichent une erreur quand on leur demande de diviser par 0.

Les divisions avec reste cachent des trésors. Si tu divises un nombre par 2 et que le reste est 0, le nombre est pair ; si le reste est 1, il est impair. Et si tu divises un nombre par 7, le reste te dit quel jour de la semaine ce sera dans ce nombre de jours : dans 10 jours, 10 = (7 × 1) + 3, ce sera 3 jours plus tard dans la semaine qu'aujourd'hui !

Certains nombres ne se laissent diviser par presque rien sans reste : 7, 11, 13… On les appelle les nombres premiers. Les mathématiciens en cherchent encore de nouveaux aujourd'hui, et les plus grands connus ont des millions de chiffres !