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Les nombres qui montent et qui descendent : positifs, négatifs et fractions

Cinquième · Mathématiques · environ 20 min

Imagine un thermomètre un matin d'hiver. Il affiche -5 °C. À midi, il grimpe de 8 degrés. Quelle température fait-il ? Ou bien pense à un ascenseur : tu es au 3ᵉ étage, tu descends de 5 niveaux… tu arrives au parking, au -2. Ces nombres qui vont sous zéro, on les appelle les nombres relatifs. Aujourd'hui, tu vas apprendre à jongler avec eux, et aussi à calculer avec les fractions et à résoudre des problèmes de proportionnalité. Prêt ? On plonge !

1. Les nombres relatifs

Un nombre relatif possède un signe : + (positif) ou - (négatif). On le range sur une droite graduée : les positifs à droite de 0, les négatifs à gauche.

Les nombres relatifs Une droite graduée où le zéro sépare deux camps : à droite les nombres positifs, à gauche les nombres négatifs. Un repère glisse de zéro vers la gauche jusqu'à moins deux. En dessous, la règle des signes : deux signes identiques donnent un produit positif, deux signes contraires un produit négatif. −4−3−2−1 0 1234 (+) × (+) = + (−) × (−) = + (+) × (−) = −
La droite graduée avec positifs et négatifs

Additionner deux nombres de même signe : j'additionne les distances et je garde le signe.

  • (+3) + (+5) = +8
  • (-4) + (-6) = -10

Additionner deux nombres de signes différents : je fais la différence des distances et je garde le signe du plus « grand » (le plus éloigné de 0).

  • (-5) + (+8) = +3 (car 8 - 5 = 3, et 8 gagne)
  • (+2) + (-7) = -5

Soustraire, c'est ajouter l'opposé. L'opposé de +6 est -6.

  • (+4) - (+9) = (+4) + (-9) = -5
  • (-3) - (-8) = (-3) + (+8) = +5

Multiplier : on multiplie les nombres, puis on applique la règle des signes.

  • même signe → résultat positif : (-4) × (-3) = +12
  • signes différents → résultat négatif : (-4) × (+3) = -12

2. Les fractions

Une fraction, c'est un partage : 3/4 = 3 parts sur 4.

Opérations sur les fractions Trois barres identiques, chacune partagée en quatre parts égales. Sur la première, une part est coloriée (un quart) ; sur la deuxième, deux parts (deux quarts) ; sur la troisième, trois parts (trois quarts). Comme le dénominateur est le même, on additionne seulement les numérateurs : 1/4 + 2/4 = 3/4. + = 14 24 34 Même dénominateur : on additionne les numérateurs
Additionner et multiplier des fractions

Additionner/soustraire : il faut le même dénominateur.

  • 2/5 + 1/5 = 3/5 (déjà le même dénominateur)
  • 1/2 + 1/3 : on met sur 6 → 3/6 + 2/6 = 5/6

Multiplier : on multiplie les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux.

  • 2/3 × 4/5 = (2×4)/(3×5) = 8/15

3. La proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre (le coefficient).

La proportionnalité Une recette qu'on double : à chaque ligne on multiplie par le même nombre, deux. Les parts passent de un à deux, les œufs passent de deux à quatre. Le même coefficient sur chaque ligne : c'est une situation de proportionnalité. ×2 ×2 simple le double parts œufs 1 2 2 4
Un tableau de proportionnalité et son coefficient

Exemple : 3 croissants coûtent 4,50 €. Combien coûtent 5 croissants ? Prix d'un croissant : 4,50 ÷ 3 = 1,50 €. Donc 5 croissants : 1,50 × 5 = 7,50 €.

À retenir

  • Même signe : j'additionne les distances et je garde le signe. Signes différents : je soustrais et je garde le signe du plus fort.
  • Soustraire = ajouter l'opposé.
  • Multiplier des relatifs : mêmes signes → +, signes différents → −.
  • Additionner des fractions : même dénominateur d'abord ! Multiplier : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux.
  • Proportionnalité : on multiplie toujours par le même coefficient.

Corrections

Exercice 1 : (-7) + (+3) : signes différents, 7 - 3 = 4, le plus fort est -7 → -4. (-6) - (-10) = (-6) + (+10) : 10 - 6 = 4, le plus fort est +10 → +4.

Exercice 2 : 3/4 × 2/9 = (3×2)/(4×9) = 6/36 = 1/6 (on simplifie par 6). 1/3 + 1/6 : même dénominateur 6 → 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Exercice 3 : Prix d'un stylo : 6 ÷ 4 = 1,50 €. Pour 10 stylos : 1,50 × 10 = 15 €.

Bravo ! Tu manies déjà les signes et les fractions comme un pro.