Le produit en croix : la balance des fractions

Une recette qui pose problème !

Imagine : tu veux faire des crêpes pour 6 personnes, mais la recette est prévue pour 4 personnes et demande 300 g de farine. Combien de farine pour 6 personnes ?

Tu sens bien qu'il faut « plus » de farine, mais combien exactement ? Ce genre de situation — où deux grandeurs varient ensemble — se résout grâce à un outil magique : le produit en croix. C'est le super-pouvoir des fractions qui vont te permettre de retrouver n'importe quelle valeur manquante !

1. Deux fractions égales : une égalité de quotients

Une égalité de quotients (ou proportion), c'est quand deux fractions sont égales :

Par exemple : 34 = 68. Tu peux vérifier : 3 × 8 = 24 et 4 × 6 = 24. Les deux résultats sont égaux !

C'est ça, la règle du produit en croix :

Si ab = cd, alors a × d = b × c.

On multiplie « en croix », comme si on traçait un X entre les nombres.

2. Trouver l'inconnue pas à pas

Souvent, il manque un nombre. On l'appelle par une lettre, souvent x.

Exemple 1 : Résoudre x4 = 1512.

• Étape 1 – Produit en croix : x × 12 = 4 × 15
• Étape 2 – Je calcule : 12x = 60
• Étape 3 – Je divise par 12 : x = 6012 = 5

✓ Vérification : 54 = 1,25 et 1512 = 1,25. Parfait !

Exemple 2 : Résoudre 7x = 219.

Attention, ici l'inconnue est en dénominateur !

• Produit en croix : 7 × 9 = x × 21
• Je calcule : 63 = 21x
• Je divise par 21 : x = 6321 = 3

✓ Vérification : 73 ≈ 2,33 et 219 ≈ 2,33. Génial !

3. Un problème concret : les crêpes !

Reprenons la recette. Je range les grandeurs dans un tableau de proportionnalité :

Farine (g)	300	x
Personnes	4	6

L'égalité de quotients : 3004 = x6

• Produit en croix : 300 × 6 = 4 × x
• 1800 = 4x
• x = 18004 = 450

Il faut 450 g de farine pour 6 personnes. Logique : c'est bien plus que 300 g !

À retenir

• Une égalité de quotients s'écrit ab = cd.
• Le produit en croix : si ab = cd, alors a × d = b × c.
• Pour trouver l'inconnue : produit en croix → puis division par le nombre devant x.
• L'inconnue peut être en haut (numérateur) OU en bas (dénominateur) : la méthode reste la même.
• Toujours vérifier en calculant les deux fractions à la fin.

★ Pour aller plus loin

Sais-tu que le produit en croix est utilisé partout, même au-delà des maths ? En cuisine, en chimie (pour ajuster les doses), et même par les cartographes : sur une carte à l'échelle 1/25 000, 1 cm sur le papier correspond à 25 000 cm dans la réalité. Une simple égalité de quotients te permet de calculer une distance réelle !

Il existe une astuce ancienne appelée la « règle de trois », utilisée par les marchands depuis le Moyen Âge. Le produit en croix, c'est exactement la version moderne de cette règle. Les commerçants s'en servaient pour convertir les monnaies ou calculer des prix, bien avant l'invention de la calculatrice.

Attention cependant : le produit en croix ne fonctionne que pour des situations de proportionnalité. Le prix de 3 croissants est proportionnel au nombre de croissants (proportionnalité ✓ ), mais l'âge d'une personne n'est pas proportionnel à sa taille (pas de proportionnalité ✗ ). Bien identifier la proportionnalité, c'est la clé pour ne pas se tromper !

Sources pour creuser

Livres :

• Maths 4e (collection Sésamath), manuel disponible gratuitement en ligne sur le site Sésamath — chapitre sur la proportionnalité.
• Le grand livre des maths de Anna Weltman (activités et curiosités mathématiques).

Vidéos / chaînes YouTube :

• Chaîne Yvan Monka (M@ths et tiques) : cherche « produit en croix 4e » ou « proportionnalité 4e ». Explications très claires, référence des profs.
• Chaîne Les Bons Profs : cherche « égalité de quotients produit en croix ».

Ressources institutionnelles :

• lumni.fr : rubrique Mathématiques collège, cherche « proportionnalité » et « produit en croix ».
• education.gouv.fr : programmes officiels du cycle 4 pour vérifier les attendus.