Le théorème de Thalès : quand les parallèles agrandissent les triangles

Un rayon de soleil qui mesure une pyramide

Imagine : tu es en Égypte, il y a 2600 ans, devant la grande pyramide de Khéops. Impossible de grimper dessus avec un mètre ruban ! Pourtant, un savant grec nommé Thalès a réussi à calculer sa hauteur... simplement grâce à son ombre et à un bâton planté dans le sable.

Comment ? En utilisant une idée géniale : quand des droites parallèles coupent deux droites sécantes, elles créent des triangles proportionnels. Les longueurs s'agrandissent toutes dans le même rapport, comme une photo qu'on zoome. C'est ce que tu vas apprendre aujourd'hui.

La leçon pas à pas

La configuration de base

On part d'un triangle ABM (M est le sommet où se croisent deux droites).

• Sur la droite qui passe par A, on place un point C.
• Sur la droite qui passe par B, on place un point D.
• Si la droite (CD) est parallèle à (AB), alors la magie opère !

Le théorème de Thalès dit qu'on obtient des longueurs proportionnelles :

Ces trois fractions sont égales. C'est le rapport d'agrandissement (ou de réduction) du petit triangle vers le grand.

! Attention à l'ordre : dans chaque fraction, on écrit toujours les points dans le même ordre. En haut le petit triangle (celui qui contient M et les points proches), en bas le grand triangle.

Exemple 1 : trouver une longueur

Les droites (CD) et (AB) sont parallèles. On sait que : MC = 3 cm, MA = 6 cm, MD = 4 cm. Combien vaut MB ?

J'écris l'égalité de Thalès :

Je fais un produit en croix :

Exemple 2 : trouver le côté parallèle

Toujours (CD) // (AB). On a MC = 2 cm, MA = 5 cm, AB = 10 cm. Combien vaut CD ?

Produit en croix :

Exemple 3 : l'astuce de Thalès et la pyramide

Le bâton (1 m) projette une ombre de 2 m. Au même instant, la pyramide projette une ombre de 200 m. Les rayons du soleil sont parallèles ! Donc :

À retenir

• On utilise Thalès quand deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles.
• Les longueurs sont proportionnelles : MCMA = MDMB = CDAB.
• Dans chaque fraction, respecte le même ordre de points (petit triangle en haut, grand en bas).
• Pour trouver une longueur inconnue : j'écris l'égalité puis je fais un produit en croix.
• Sans parallèles, pas de Thalès !

★ Pour aller plus loin

Sais-tu que Thalès de Milet était aussi astronome et philosophe ? On raconte qu'il aurait prédit une éclipse de soleil en 585 avant notre ère Il était considéré comme l'un des « Sept Sages » de la Grèce antique.

Il existe une réciproque du théorème que tu verras plus tard : elle sert à démontrer que deux droites sont parallèles (au lieu de calculer une longueur). C'est très pratique en géométrie pour prouver des choses sans les mesurer.

Enfin, ce que tu apprends ici est le cœur des agrandissements et réductions (les échelles sur les cartes, les maquettes, les zooms d'écran). Chaque fois qu'une image garde ses proportions, c'est la proportionnalité de Thalès qui travaille en secret.

Sources pour creuser

Livres :

• Le théorème du perroquet, Denis Guedj — un roman qui raconte l'histoire des mathématiques, dont Thalès (pour lecteurs curieux).
• Les Maths, c'est magique !, collection Kididoc (Nathan) — pour découvrir les maths autrement.

Vidéos YouTube (chaînes réelles) :

• Chaîne Yvan Monka (maths-et-tiques) : cherche « Théorème de Thalès 4ème Yvan Monka ». Ses vidéos sont claires et faites pour ton niveau.
• Chaîne Les Bons Profs : cherche « Théorème de Thalès quatrième ».

Ressources institutionnelles :

• lumni.fr : rubrique Mathématiques collège, cherche « proportionnalité » et « Thalès ».
• education.gouv.fr : programmes officiels du cycle 4 en mathématiques.