Le produit en croix : mon détective de la proportionnalité

Tu es au supermarché. Un paquet de 3 croissants coûte 2,40 €. Tu en veux 5 pour ton petit-déjeuner du week-end. Combien vas-tu payer ? Ou alors, tu prépares une recette : pour 4 personnes il faut 200 g de farine, mais vous êtes 6 à table. Combien de farine ?

Dans tous ces cas, tu utilises sans le savoir un outil mathématique super puissant : la proportionnalité. Aujourd'hui, tu vas apprendre à la reconnaître à coup sûr et à devenir un vrai détective grâce à trois techniques : le coefficient de proportionnalité, la quatrième proportionnelle et le célèbre produit en croix.

1. Reconnaître une situation de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre.

Exemple : les croissants.

Nombre de croissants	3	6	9
Prix (€)	2,40	4,80	7,20

Si je double le nombre de croissants, le prix double aussi. Si je triple, le prix triple. C'est le signe qu'il y a proportionnalité.

! Attention aux fausses proportionnalités ! L'âge d'une personne et sa taille ne sont pas proportionnels (tu ne mesureras pas 2 fois plus à 20 ans qu'à 10 ans !).

2. Le coefficient de proportionnalité

C'est le nombre magique par lequel on multiplie. On le trouve en divisant une valeur d'une ligne par la valeur correspondante de l'autre ligne.

Ici : 2,40 ÷ 3 = 0,80. Chaque croissant coûte 0,80 €.

Donc pour trouver le prix, je fais : nombre de croissants × 0,80.

• 5 croissants → 5 × 0,80 = 4 €

Le coefficient permet de compléter tout un tableau très vite !

3. La quatrième proportionnelle et le produit en croix

Parfois, on connaît trois valeurs et on en cherche une quatrième. Cette valeur inconnue s'appelle la quatrième proportionnelle.

Exemple (la recette) : 4 personnes → 200 g de farine. Pour 6 personnes → ? g.

Personnes	4	6
Farine (g)	200	x

Le produit en croix dit : dans un tableau de proportionnalité, les produits en diagonale sont égaux.

Donc : x = 200 × 64 = 12004 = 300 g.

Astuce mémoire : pour trouver la valeur manquante, je multiplie les deux nombres « en diagonale » avec elle, puis je divise par le nombre qui reste.

Deuxième exemple : Une voiture parcourt 150 km avec 12 L d'essence. Combien de litres pour 250 km ?

Distance (km)	150	250
Essence (L)	12	x

À retenir

• Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe de l'une à l'autre en multipliant par un même nombre (le coefficient).
• Le coefficient de proportionnalité = une valeur ÷ la valeur correspondante.
• La quatrième proportionnelle est la valeur manquante dans un tableau à trois valeurs connues.
• Le produit en croix : les produits en diagonale sont égaux → ab = cd donne a × d = b × c.
• Pour la valeur cherchée : je multiplie les deux nombres en diagonale, puis je divise par le troisième.

★ Pour aller plus loin

Sais-tu que la proportionnalité est partout dans la vie professionnelle ? Les cuisiniers l'utilisent pour adapter leurs recettes, les pharmaciens pour doser un médicament selon le poids d'un patient, et les architectes pour dessiner des plans à l'échelle. Le fameux « pourcentage » que tu vois dans les soldes (–30 %) est aussi une application directe de la proportionnalité !

Le produit en croix a une longue histoire. On l'appelait autrefois la « règle de trois », car on connaît trois valeurs pour en trouver une quatrième. Les marchands du Moyen Âge la maîtrisaient parfaitement pour convertir des monnaies et calculer des échanges de marchandises.

Attention à un piège fréquent : certains graphiques montent en ligne droite mais ne passent pas par l'origine (le point zéro). Ces situations ne sont pas proportionnelles ! Par exemple, un abonnement téléphonique avec un forfait fixe + un prix par appel n'est pas proportionnel. Une situation est proportionnelle uniquement si son graphique est une droite qui passe par le point (0 ; 0).

Sources pour creuser

Livres :

• Maths 4e (collection Sésamath, éditions Magnard) – manuel officiel gratuit en ligne sur le site Sésamath, avec cours et exercices corrigés.
• Les Maths, c'est magique ! de la collection scolaire Hatier – chapitres sur la proportionnalité au collège.

Vidéos / chaînes YouTube :

• Chaîne Yvan Monka (M. Monka / mathrix) : cherche « proportionnalité produit en croix 4e Yvan Monka ». Ses explications sont claires et gratuites.
• Chaîne Les Bons Profs : cherche « proportionnalité et produit en croix quatrième ».

Ressources institutionnelles :

• lumni.fr : rubrique Mathématiques collège, cherche « proportionnalité ».
• maths.sesamath.net : manuel et exercices interactifs gratuits.
• education.gouv.fr : programmes officiels du cycle 4 pour vérifier les attendus.