Cornets, pyramides et ballons : volumes, réductions et sections

Un cornet de glace de 3 cm de rayon et 10 cm de profondeur, surmonté d'une boule de 3 cm de rayon. Question cruciale de l'été : si la boule fond entièrement, le cornet va-t-il déborder ? Pour répondre sans en mettre partout, il te faut les volumes des solides « pointus » et ronds, puis deux outils en prime : l'effet d'une réduction et les formes obtenues en coupant un solide.

1. Pyramide et cône : le tiers du prisme

Une pyramide a pour base un polygone ; un cône de révolution a pour base un disque. Leur volume se calcule de la même façon :

V = 13 × aire de la base × hauteur

La hauteur est la distance du sommet à la base, mesurée perpendiculairement à celle-ci (ce n'est pas la longueur d'une arête).

Pourquoi un tiers ? Une pyramide occupe le tiers du prisme de même base et de même hauteur, un cône le tiers du cylindre correspondant : trois cônes d'eau remplissent ce cylindre.

Exemple 1. Une pyramide à base carrée de 6 cm de côté et de 10 cm de hauteur : V = 13 × 36 × 10 = 120 cm³. Le cornet de l'introduction a pour base un disque d'aire π × 3² = 9π cm², donc V = 13 × 9π × 10 = 30π ≈ 94,2 cm³.

2. La boule

La sphère est la surface, la boule est le solide plein. Pour un rayon r :

• volume de la boule : V = 43 × π × r³ ;
• aire de la sphère : A = 4 × π × r².

Exemple 2. La boule de glace de rayon 3 cm : V = 43 × π × 27 = 36π ≈ 113,1 cm³. Verdict : 113,1 cm³ de glace fondue pour un cornet de 94,2 cm³… ça déborde !

Astuce : garde π jusqu'au bout (30π, 36π) et n'arrondis qu'à la fin.

3. Agrandissement et réduction

Quand on agrandit ou réduit un solide avec un coefficient k (k > 1 pour agrandir, 0 < k < 1 pour réduire) :

• les longueurs sont multipliées par k ;
• les aires par k² ;
• les volumes par k³.

Grand classique du brevet : une pyramide ou un cône coupé par un plan parallèle à la base. Le petit solide du haut est une réduction du grand.

Exemple 3. Une pyramide de hauteur 12 cm a un volume de 540 cm³. On la coupe parallèlement à sa base, à 4 cm du sommet. Le coefficient de réduction vaut k = 412 = 13. Volume de la petite pyramide : 540 × (13)³ = 54027 = 20 cm³. Et sa base ? Celle de la grande mesure 135 cm² (car 13 × 135 × 12 = 540), donc la petite mesure 135 × (13)² = 15 cm².

4. Les sections planes

Couper un solide par un plan, comme on tranche un légume, donne une section.

• Pavé droit : un plan parallèle à une face donne un rectangle identique à cette face ; un plan parallèle à une arête donne aussi un rectangle.
• Cylindre : parallèlement à la base, un disque de même rayon ; parallèlement à l'axe, un rectangle.
• Pyramide et cône : parallèlement à la base, une réduction de la base (polygone de même forme, disque plus petit).
• Boule : tout plan qui la traverse donne un disque. Le plus grand passe par le centre et a le même rayon que la boule.

Le rayon d'une section de boule se calcule avec Pythagore. Une boule de rayon 5 cm coupée par un plan à 3 cm du centre : r² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16, donc la section est un disque de rayon 4 cm.

À retenir

• Pyramide et cône : V = 13 × aire de la base × hauteur.
• Boule de rayon r : V = 43 × π × r³ ; aire de la sphère : 4 × π × r².
• Coefficient k : longueurs × k, aires × k², volumes × k³.
• Coupé parallèlement à sa base, un cône ou une pyramide donne au sommet une réduction du solide.
• Section d'une boule : un disque ; d'un cylindre : un disque (parallèle à la base) ou un rectangle (parallèle à l'axe).

★ Pour aller plus loin

Archimède (IIIe siècle av. n. è.) avait démontré qu'une boule occupe exactement les 23 du cylindre dans lequel elle s'emboîte. Il en était si fier qu'il aurait voulu une sphère et un cylindre gravés sur sa tombe ; plus d'un siècle après, l'orateur romain Cicéron raconte l'avoir retrouvée grâce à ce dessin.

Le piège du verre à cocktail : un verre conique rempli jusqu'à la moitié de sa hauteur ne contient que (12)³ = 18 de son volume ! Le liquide forme une réduction du cône de coefficient 12. Pour un verre à moitié plein, il faut monter à environ 79 % de la hauteur.

Les bulles de savon sont rondes pour une raison mathématique : parmi toutes les formes qui enferment un volume donné, la sphère a la plus petite surface, et le film de savon cherche justement à être le plus petit possible.

Sources pour creuser

• Livre : Le Théorème du perroquet, Denis Guedj (Seuil) — un roman policier qui fait revivre les grands savants grecs.
• Livre : Le Grand Roman des maths, Mickaël Launay (Flammarion) — l'histoire des mathématiques racontée comme un roman.
• Chaîne YouTube Yvan Monka (Maths et tiques) : cherche « volume d'un cône », « volume d'une boule » et « section d'un solide par un plan ».
• GeoGebra (geogebra.org), application « Calculatrice 3D » : trace un cône ou une sphère et coupe-les par un plan.
• lumni.fr et eduscol.education.fr (programme officiel du cycle 4).