Glisser, tourner, zoomer : translation, rotation et homothétie

Sur ton téléphone, trois gestes suffisent pour manipuler une photo : tu la fais glisser, tu la fais pivoter, tu l'agrandis en écartant deux doigts. Sans le savoir, tu appliques les trois transformations de ce cours : la translation, la rotation et l'homothétie. Elles sont partout, des frises de carrelage aux jeux vidéo. Ton objectif : savoir les construire et savoir ce qu'elles changent… ou pas.

1. La translation : glisser sans tourner

Une translation fait glisser une figure : tous ses points se déplacent dans la même direction, le même sens et de la même longueur. On la décrit par un point et son image : « la translation qui transforme A en B ».

Exemple 1. Sur un quadrillage, la translation qui transforme A en B déplace A de 4 carreaux vers la droite et de 2 vers le haut. Pour construire l'image d'un triangle, on applique ce même déplacement à chaque sommet, puis on relie les images : le triangle obtenu est identique, simplement décalé.

Propriété utile : si la translation transforme A en B et M en M', alors ABM'M est un parallélogramme (aplati si les points sont alignés).

2. La rotation : tourner autour d'un point

Une rotation est définie par un centre O, un angle et un sens (celui des aiguilles d'une montre ou l'inverse). L'image de M est le point M' tel que OM' = OM et que l'angle MOM' soit égal à l'angle de la rotation.

Exemple 2. L'aiguille des minutes fait un tour complet, 360°, en 60 minutes : elle tourne de 6° par minute. Entre 14 h 00 et 14 h 20, elle subit une rotation de centre le milieu du cadran, d'angle 20 × 6 = 120°, dans le sens des aiguilles d'une montre (forcément !).

Construction : trace [OM], reporte l'angle au rapporteur dans le bon sens, puis la longueur OM au compas.

Cas particulier : la rotation de 180° est un demi-tour, c'est la symétrie centrale de centre O.

3. L'homothétie : agrandir ou réduire

Une homothétie est définie par un centre O et un rapport k. Pour k positif, l'image M' de M est sur la demi-droite [OM), avec OM' = k × OM.

• Si k > 1, la figure est agrandie ; si 0 < k < 1, elle est réduite.
• Si k est négatif, M' est de l'autre côté de O, à la distance (−k) × OM : la figure est retournée, puis agrandie ou réduite. Pour k = −1, on retrouve la symétrie centrale.

Exemple 3. OA = 3 cm. Avec le rapport 2, A' est sur [OA) et OA' = 6 cm. Avec le rapport 0,5 : OA' = 1,5 cm. Avec le rapport −2 : OA' = 6 cm, mais de l'autre côté de O.

Un vidéoprojecteur fait exactement cela : la lampe joue le rôle du centre, l'image sur le mur agrandit la petite image de l'appareil.

4. Ce qui change, ce qui ne change pas

La translation, la rotation et les symétries conservent les longueurs, les angles, les aires et les volumes : l'image est superposable à la figure de départ.

Une homothétie de rapport k positif est un agrandissement ou une réduction de coefficient k :

• les longueurs sont multipliées par k ;
• les aires par k² ;
• les volumes par k³ ;
• les angles sont conservés, tout comme le parallélisme : la forme ne change pas.

Exemple 4. Une photo de 10 cm sur 15 cm agrandie avec le rapport 3 mesure 30 cm sur 45 cm. Son aire passe de 150 cm² à 1 350 cm² = 150 × 9 : elle est multipliée par 3², pas par 3 ! Un cube de 2 cm d'arête (8 cm³) agrandi avec le rapport 3 devient un cube de 6 cm d'arête, de volume 216 cm³ = 8 × 3³.

À retenir

• Translation : tous les points glissent de la même façon (même direction, même sens, même longueur).
• Rotation de centre O : chaque point tourne autour de O d'un angle donné, à distance constante de O ; la rotation de 180° est la symétrie centrale.
• Homothétie de centre O et de rapport k : agrandissement si k > 1, réduction si 0 < k < 1, figure retournée de l'autre côté de O si k < 0.
• Translations, rotations et symétries conservent longueurs, angles, aires et volumes.
• Homothétie de rapport k positif : longueurs × k, aires × k², volumes × k³, angles conservés.

★ Pour aller plus loin

Le graveur néerlandais M. C. Escher (1898-1972) a créé des pavages où oiseaux, poissons ou lézards s'emboîtent parfaitement : chaque motif est l'image d'un autre par une translation, une rotation ou une symétrie. À la fin du XIXe siècle, les mathématiciens ont démontré qu'il n'existe que 17 façons fondamentalement différentes de répéter un motif pour couvrir un plan.

Pourquoi un géant dix fois plus grand qu'un humain ne tiendrait-il pas debout ? Galilée l'avait compris en 1638 : avec un rapport 10, la masse est multipliée par 1 000, mais la section des os seulement par 100. Ses jambes se briseraient ! Voilà pourquoi les éléphants ont des pattes proportionnellement bien plus épaisses que les gazelles.

Sources pour creuser

• Livre : Le Théorème du parapluie, Mickaël Launay (Flammarion) — pour voir les mathématiques dans le monde qui t'entoure.
• Livre : Le Grand Roman des maths, Mickaël Launay (Flammarion) — l'histoire des mathématiques racontée comme un roman.
• Chaîne YouTube Yvan Monka (Maths et tiques) : cherche « rotation », « homothétie » et « agrandissement réduction aires volumes ».
• Chaîne YouTube Micmaths (Mickaël Launay) : cherche ses vidéos sur les pavages.
• GeoGebra (geogebra.org) : outils « Rotation » et « Homothétie » pour transformer une figure en direct.
• lumni.fr et eduscol.education.fr (programme officiel du cycle 4).