Soldes, hausses et coefficient multiplicateur : les pourcentages sans piège

Samedi, soldes. Le sweat que tu repères coûte 45 €, étiqueté « −30 % ». À la caisse, surprise : « −20 % supplémentaires sur les articles soldés ! » Ton copain s'exclame : « 30 + 20 = 50, il est à moitié prix ! » Raté. Pour comprendre pourquoi, il te faut trois outils : la proportionnalité, le coefficient multiplicateur et la fonction linéaire. Bonne nouvelle : c'est le même outil, vu sous trois angles.

1. Reconnaître une situation de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.

Exemple 1. À la boulangerie, une baguette coûte 1,10 €.

Nombre de baguettes	1	3	5	8
Prix (€)	1,10	3,30	5,50	8,80

On multiplie toujours par 1,1 : c'est proportionnel. Tu peux aussi contrôler deux colonnes par les produits en croix : 3 × 5,50 = 16,5 et 5 × 3,30 = 16,5.

Contre-exemple : un taxi qui prend 3 € au départ, puis 1,50 € par kilomètre. 2 km coûtent 6 € et 4 km coûtent 9 € : doubler la distance ne double pas le prix.

Le lien avec les fonctions : si x est le nombre de baguettes, le prix est f(x) = 1,1x. Une situation de proportionnalité se modélise toujours par une fonction linéaire f(x) = ax, où a est le coefficient ; sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine. Celle du taxi n'y passe pas.

2. Le coefficient multiplicateur

Voici le réflexe qui change tout : une évolution en pourcentage, c'est une multiplication.

• Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100.
• Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100.

Si un prix baisse de 30 %, il en reste 100 % − 30 % = 70 %, soit 0,7 fois le prix.

Exemple 2. Le sweat à 45 € soldé à −30 % coûte 45 × 0,7 = 31,50 €. Ton abonnement de musique à 12,50 € augmente de 8 % : il passe à 12,50 × 1,08 = 13,50 €.

La fonction qui, à un prix x, associe le prix soldé est f(x) = 0,7x : encore une fonction linéaire ! La réduction est proportionnelle au prix de départ.

Le coefficient sert aussi à remonter le temps :

• Trouver le taux. Un jeu vidéo passe de 80 € à 92 €. Coefficient : 92 ÷ 80 = 1,15. Or 1,15 = 1 + 0,15 : c'est une hausse de 15 %.
• Trouver la valeur de départ. Après une baisse de 25 %, une veste coûte 36 €. On a multiplié par 0,75, donc on divise : 36 ÷ 0,75 = 48 €. Vérification : 48 × 0,75 = 36.

Piège : ajouter 25 % à 36 € ne redonne PAS le prix de départ (on obtiendrait 45 €).

3. Composer des évolutions successives

Quand deux évolutions se suivent, on multiplie les coefficients.

Exemple 3. Retour au sweat : −30 %, puis −20 %.

• Coefficient global : 0,7 × 0,8 = 0,56.
• Prix final : 45 × 0,56 = 25,20 €.
• Comme 0,56 = 1 − 0,44, la baisse totale est de 44 %, et non de 50 %.

La deuxième remise porte sur 31,50 €, pas sur 45 € : elle ne retire que 6,30 €.

Autre piège célèbre : une hausse de 10 % suivie d'une baisse de 10 %. Coefficient global : 1,1 × 0,9 = 0,99. On a perdu 1 % ! Un article à 200 € passe à 220 €, puis à 198 €.

Dernier réflexe : pour effacer une hausse de 25 % (coefficient 1,25), il faut multiplier par 11,25 = 0,8, c'est-à-dire appliquer une baisse de 20 %, et non de 25 %.

À retenir

• Proportionnalité = on multiplie toujours par le même coefficient a ; elle se modélise par la fonction linéaire f(x) = ax, dont la droite passe par l'origine.
• Augmenter de t % : multiplier par 1 + t100. Diminuer de t % : multiplier par 1 − t100.
• Taux d'évolution : on calcule valeur finale ÷ valeur initiale, puis on compare ce coefficient à 1.
• Valeur de départ : on DIVISE la valeur finale par le coefficient.
• Évolutions successives : on multiplie les coefficients, on n'additionne jamais les pourcentages.

★ Pour aller plus loin

Le symbole % viendrait d'une abréviation de l'italien per cento (« pour cent ») employée par les marchands dès le XVe siècle, déformée à force d'être écrite vite.

Les évolutions successives expliquent la force de l'inflation. Avec une hausse des prix de 2 % par an, le coefficient sur 35 ans vaut 1,02 × 1,02 × … × 1,02 (35 facteurs), soit environ 2 : les prix doublent. D'où la « règle de 70 » des économistes : 70 ÷ taux annuel donne à peu près le nombre d'années pour qu'un prix double. Au lycée, tu les étudieras avec les suites géométriques.

Enfin, un taux qui passe de 8 % à 10 % gagne 2 points… mais augmente de 25 %, car 10 ÷ 8 = 1,25 !

Sources pour creuser

• Livre : Le Grand Roman des maths, Mickaël Launay (Flammarion) — l'histoire des mathématiques racontée comme une aventure.
• Livre : Le Démon des maths, Hans Magnus Enzensberger (Seuil) — douze nuits de rêves pour apprivoiser les nombres.
• Chaîne YouTube Yvan Monka (Maths et tiques) : cherche « Appliquer un pourcentage d'évolution » et « Évolutions successives ».
• Chaîne YouTube Les Bons Profs : cherche « pourcentages 3e ».
• lumni.fr : recherche « proportionnalité » et « pourcentage » (niveau Troisième).
• eduscol.education.fr : le programme officiel de mathématiques du cycle 4 ; apmep.fr pour les sujets corrigés du brevet.