School 47
Se connecter

Le produit qui vaut zéro : factoriser pour résoudre

Troisième · Mathématiques · environ 25 min

Devinette : « Je pense à un nombre. Son carré est égal à cinq fois ce nombre. Qui suis-je ? » Tu trouves vite 5, car 5² = 25 = 5 × 5. Mais il existe une autre réponse, que presque tout le monde oublie : 0, car 0² = 0 = 5 × 0. Pour être sûr de trouver toutes les solutions, il faut une méthode : factoriser, puis utiliser la règle du produit nul.

1. Factoriser, c'est l'inverse de développer

  • Développer transforme un produit en somme : 3(x + 2) devient 3x + 6.
  • Factoriser transforme une somme en produit : 3x + 6 devient 3(x + 2).
Développer et factoriser Le modèle de l'aire. Un rectangle de hauteur k et de largeur (a + b) est coupé en deux : à gauche l'aire k×a, à droite l'aire k×b. Leur somme est l'aire totale k(a + b). Développer va du rectangle entier vers les deux parts ; factoriser fait le chemin inverse. a b k k × a k × b k (a + b) = k×a + k×b développer → ← factoriser

Une expression factorisée est un produit, comme (x + 1)(x − 4) ou 2x(x + 3).

2. Factoriser avec un facteur commun

On repère un facteur présent dans chaque terme, puis on applique la distributivité à l'envers : ka + kb = k(a + b) et ka − kb = k(a − b).

Exemple 1 :

  • 6x + 15 = 3 × 2x + 3 × 5 = 3(2x + 5).
  • 4x² − 7x = x × 4x − x × 7 = x(4x − 7).
  • Le facteur commun peut être une parenthèse entière : (x + 2)(3x − 1) + (x + 2)(x + 4) = (x + 2)[(3x − 1) + (x + 4)] = (x + 2)(4x + 3).

Attention au signe « − » : (2x − 1)(x + 3) − (2x − 1)(5 − x) = (2x − 1)[(x + 3) − (5 − x)] = (2x − 1)(x + 3 − 5 + x) = (2x − 1)(2x − 2).

Le facteur caché : (x + 1)² + (x + 1) = (x + 1)(x + 1) + (x + 1) × 1 = (x + 1)(x + 2).

Pour vérifier, redéveloppe : tu dois retrouver l'expression de départ.

3. Factoriser avec une identité remarquable

On lit les identités de droite à gauche :

  • a² − b² = (a + b)(a − b)
  • a² + 2ab + b² = (a + b)²
  • a² − 2ab + b² = (a − b)²

Exemple 2 :

  • x² − 49 = x² − 7² = (x + 7)(x − 7).
  • 9x² − 25 = (3x)² − 5² = (3x + 5)(3x − 5).
  • (x + 1)² − 16 = (x + 1)² − 4² = (x + 1 + 4)(x + 1 − 4) = (x + 5)(x − 3).
  • 4x² − 12x + 9 = (2x)² − 2 × 2x × 3 + 3² = (2x − 3)².

4. L'équation produit nul

Propriété : un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Autrement dit, A × B = 0 équivaut à : A = 0 ou B = 0.

Cette règle est propre au zéro : si A × B = 6, on ne peut rien dire de A ni de B séparément.

Exemple 3 : résoudre (x − 3)(2x + 5) = 0.

  • x − 3 = 0, donc x = 3 ;
  • ou 2x + 5 = 0, donc 2x = −5 et x = −2,5.

L'équation a deux solutions : 3 et −2,5.

Exemple 4 : la devinette. On cherche x tel que x² = 5x.

  1. On ramène tout du même côté : x² − 5x = 0.
  2. On factorise : x(x − 5) = 0.
  3. Produit nul : x = 0 ou x − 5 = 0.

Les solutions sont 0 et 5. Si tu avais divisé les deux membres par x, tu aurais perdu la solution 0 : on ne divise jamais par une expression qui peut être nulle !

Exemple 5 : 4x² − 9 = 0 s'écrit (2x − 3)(2x + 3) = 0, d'où x = 1,5 ou x = −1,5.

À retenir

  • Factoriser = transformer une somme en produit (l'inverse de développer).
  • Facteur commun : ka + kb = k(a + b) ; le facteur peut être une parenthèse entière.
  • a² − b² = (a + b)(a − b) ; a² + 2ab + b² = (a + b)² ; a² − 2ab + b² = (a − b)².
  • A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0 : on ramène d'abord tout d'un côté, on factorise, puis on résout chaque facteur.
  • Ne divise jamais par x : tu risquerais de perdre la solution 0.

★ Pour aller plus loin

Il y a près de 4 000 ans, vers 1800 av. n. è., des scribes de Babylone résolvaient déjà des problèmes du second degré sur des tablettes d'argile, sans lettres ni signe « = ».

Au lycée, tu résoudras toutes les équations du type ax² + bx + c = 0 grâce au discriminant Δ = b² − 4ac. Pour les équations de degré 5, en revanche, il n'existe aucune formule générale : c'est ce qu'ont montré le Norvégien Niels Abel puis le Français Évariste Galois, mort en duel en 1832, à seulement 20 ans.

Curiosité : la règle du produit nul n'est pas vraie partout ! Sur une horloge à 6 heures, où l'on compte « modulo 6 », 2 × 3 = 6 revient à 0, alors que ni 2 ni 3 ne valent 0.

Sources pour creuser

  • Livre : Le Grand Roman des maths, Mickaël Launay (Flammarion) — des tablettes babyloniennes à l'algèbre moderne.
  • Livre : Le Théorème du perroquet, Denis Guedj (Seuil) — un roman policier qui traverse l'histoire des maths.
  • Chaîne YouTube Yvan Monka : cherche « Factoriser avec un facteur commun » et « Équation produit nul ».
  • lumni.fr : recherche « factorisation » (niveau Troisième).