La machine à transformer les nombres : image et antécédent d'une fonction

Tu rentres de l'entraînement, tu ouvres l'appli de ton téléphone : « 42 minutes de course, 380 kcal brûlées ». Si tu avais couru 60 minutes, l'appli aurait affiché un autre nombre. Chaque durée donne UNE dépense d'énergie. Sans le savoir, tu viens de rencontrer une fonction : une règle qui, à un nombre d'entrée, associe un nombre de sortie. Toute la leçon tient dans cette idée de machine.

1. Une fonction, c'est une machine

Imagine une boîte avec une fente d'entrée et une fente de sortie. Tu glisses un nombre, la boîte applique sa règle, un nombre ressort. En mathématiques, on donne un nom à la machine, souvent f, et on écrit :

f : x ⟼ 3x + 2

qui se lit « f est la fonction qui, à x, associe 3x + 2 ». Le nombre qui entre s'appelle la variable x ; le nombre qui sort s'écrit f(x) (on lit « f de x »).

Règle d'or : pour un nombre qui entre, il sort un seul nombre. Une machine qui hésiterait entre deux sorties ne serait pas une fonction.

2. Image et antécédent : deux mots, deux sens de lecture

• L'image d'un nombre, c'est ce qui sort quand on le fait entrer. L'image de 4 par f est f(4).
• Un antécédent d'un nombre, c'est un nombre qu'on a fait entrer pour obtenir cette sortie. Si f(4) = 14, alors 4 est un antécédent de 14.

Exemple 1 : calculer une image. Avec f(x) = 3x + 2, quelle est l'image de 5 ? On remplace x par 5 : f(5) = 3 × 5 + 2 = 15 + 2 = 17. L'image de 5 est 17. Avec un nombre négatif, même méthode : f(−2) = 3 × (−2) + 2 = −6 + 2 = −4.

Exemple 2 : chercher un antécédent. Quel nombre a pour image 20 par f ? On cherche x tel que 3x + 2 = 20. C'est une équation : 3x = 18, donc x = 6. Vérification : f(6) = 3 × 6 + 2 = 20. L'antécédent de 20 est 6.

Attention à la nuance : un nombre a toujours une seule image, mais il peut avoir plusieurs antécédents. Avec g(x) = x², l'image de 3 est 9 et l'image de −3 est aussi 9 : le nombre 9 a deux antécédents, 3 et −3. Et un nombre négatif comme −4 n'a aucun antécédent par g, car un carré n'est jamais négatif.

3. Le tableau de valeurs : la fonction en liste

Quand on fait entrer plusieurs nombres, on range les résultats dans un tableau de valeurs. Pour f(x) = 3x + 2 :

x	−1	0	1	2	3
f(x)	−1	2	5	8	11

Lecture dans un sens : « l'image de 2 est 8 » (on part de la ligne du haut). Lecture dans l'autre sens : « un antécédent de 11 est 3 » (on part de la ligne du bas). Un tableau ne dit rien des nombres qu'il ne contient pas : si on veut f(10), on calcule.

4. La courbe représentative : la fonction en dessin

Chaque colonne du tableau donne un point : on place x en abscisse (horizontale) et f(x) en ordonnée (verticale). Le point (2 ; 8) signifie « x = 2, f(2) = 8 ». En reliant tous les points possibles, on obtient la courbe représentative de la fonction.

Exemple 3 : lire une courbe. La courbe d'une fonction h est tracée. Pour lire l'image de 3 : je pars de 3 sur l'axe horizontal, je monte (ou descends) jusqu'à la courbe, puis je glisse horizontalement jusqu'à l'axe vertical : je lis, disons, 2,5. Donc h(3) = 2,5. Pour lire un antécédent de 4 : je pars de 4 sur l'axe vertical, je glisse horizontalement jusqu'à la courbe ; si je touche la courbe en deux endroits, d'abscisses 1 et 5, alors 4 a deux antécédents, 1 et 5.

Une lecture graphique est une estimation : on lit « environ 2,5 ». Pour une valeur exacte, on calcule avec l'expression.

5. Les trois visages d'une même fonction

Expression (f(x) = 3x + 2), tableau de valeurs, courbe : ce sont trois façons de décrire la même machine. Savoir passer de l'une à l'autre, c'est exactement la compétence attendue au brevet. L'expression permet de calculer n'importe quelle image ; le tableau donne quelques valeurs précises ; la courbe montre d'un coup d'œil la forme générale (ça monte, ça descend, ça passe par zéro...).

À retenir

• Une fonction associe à chaque nombre x un seul nombre f(x).
• Image de x : le résultat f(x). On la calcule en remplaçant x dans l'expression.
• Antécédent de y : un nombre x tel que f(x) = y. On le trouve en résolvant une équation ou en lisant le tableau/la courbe.
• Une image est unique ; un nombre peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.
• Sur la courbe : abscisse = x, ordonnée = f(x) ; lecture image = verticalement puis horizontalement ; lecture antécédent = l'inverse.

★ Pour aller plus loin

Le mot « fonction » a été imposé par le mathématicien allemand Gottfried Leibniz vers 1694, et la notation f(x) par le Suisse Leonhard Euler en 1734. Avant eux, on décrivait les courbes par des phrases entières !

Toutes les fonctions ne se laissent pas écrire par une formule. La fonction « à chaque jour de l'année, associe la température à midi chez toi » est une vraie fonction (une seule température par jour), mais aucune expression ne la résume : on ne la connaît que par son tableau ou sa courbe. C'est le cas de la plupart des fonctions de la vie réelle.

Au lycée, tu rencontreras des fonctions dont la courbe est une parabole (f(x) = x²), puis des fonctions qui décrivent des croissances explosives (l'exponentielle) ou des vagues (sinus et cosinus). Mais la règle de base ne changera jamais : une entrée, une sortie.

Sources pour creuser

• Livre : Le Grand Roman des maths, Mickaël Launay (Flammarion) — l'histoire des idées mathématiques racontée comme une aventure, avec un passage sur la naissance des fonctions.
• Livre : Les Maths en BD (collection chez Larousse) — pour revoir les notions du collège en vignettes.
• Chaîne YouTube Yvan Monka (Maths et tiques) : cherche « Notion de fonction - Troisième » et « Image et antécédent ». Ses vidéos suivent exactement le programme.
• Chaîne YouTube Micmaths (Mickaël Launay) : pour le plaisir des maths au-delà du programme.
• lumni.fr : rubrique Collège > Troisième > Mathématiques, recherche « fonction ».
• eduscol.education.fr : programme officiel du cycle 4 en mathématiques.