Ouvrir les parenthèses : double distributivité et identités remarquables

Ton ami te lance un défi : « Calcule 99² de tête, en moins de cinq secondes. » Pendant que tu cherches ta calculatrice, il répond : 9 801. De la magie ? Non : il a simplement écrit 99 = 100 − 1, puis développé (100 − 1)². Voici comment développer, réduire, et utiliser les trois identités remarquables, des raccourcis qui font gagner un temps fou.

1. Rappels : développer et réduire

Développer, c'est transformer un produit en somme. On utilise la distributivité simple : k × (a + b) = k × a + k × b.

Réduire, c'est regrouper les termes de même nature : les x² ensemble, les x ensemble, les nombres ensemble.

Exemple : A = 3(2x − 5) − 2(x − 4) A = 6x − 15 − 2x + 8 (attention : −2 × (−4) = +8) A = 4x − 7.

Un signe « − » devant une parenthèse change le signe de chaque terme qu'elle contient : c'est la source d'erreur numéro un !

2. La double distributivité

Pour multiplier deux sommes, chaque terme de la première multiplie chaque terme de la seconde :

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Le modèle de l'aire l'explique : un rectangle de côtés (a + b) et (c + d) se découpe en quatre petits rectangles d'aires ac, ad, bc et bd.

Exemple 1 : B = (x + 3)(2x − 5) B = x × 2x + x × (−5) + 3 × 2x + 3 × (−5) B = 2x² − 5x + 6x − 15 B = 2x² + x − 15.

Astuce de vérification : remplace x par une valeur simple, par exemple 1. Départ : (1 + 3)(2 − 5) = −12 ; forme développée : 2 + 1 − 15 = −12. Même résultat : aucune erreur détectée.

3. Les trois identités remarquables

À connaître par cœur, pour tous nombres a et b :

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b²
• (a + b)(a − b) = a² − b²

D'où vient la première ? (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b². Le double produit 2ab vient des deux termes croisés.

L'erreur à ne jamais faire : (a + b)² n'est pas égal à a² + b². Contre-exemple : (3 + 4)² = 7² = 49, alors que 3² + 4² = 9 + 16 = 25.

Exemple 2 : développer avec les identités.

• (x + 5)² = x² + 2 × x × 5 + 5² = x² + 10x + 25.
• (3x − 2)² = (3x)² − 2 × 3x × 2 + 2² = 9x² − 12x + 4. Attention : (3x)² = 9x², et non 3x².
• (2x + 7)(2x − 7) = (2x)² − 7² = 4x² − 49.

Exemple 3 : le calcul mental.

• 99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9 801.
• 102 × 98 = (100 + 2)(100 − 2) = 10 000 − 4 = 9 996.

Exemple 4 : une expression complète. C = (x + 4)² − (x − 1)(x + 3). On développe chaque morceau à part, puis on soustrait en gardant des parenthèses :

• (x + 4)² = x² + 8x + 16 ;
• (x − 1)(x + 3) = x² + 3x − x − 3 = x² + 2x − 3.

C = x² + 8x + 16 − (x² + 2x − 3) = x² + 8x + 16 − x² − 2x + 3 = 6x + 19.

Les x² se sont annulés ! Vérification avec x = 0 : 4² − (−1) × 3 = 16 + 3 = 19.

À retenir

• Développer = transformer un produit en somme ; réduire = regrouper les termes semblables.
• (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd : chaque terme multiplie chaque terme.
• (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b².
• (a + b)² n'est pas a² + b² : n'oublie pas le double produit.
• Un « − » devant une parenthèse change tous les signes à l'intérieur ; vérifie en remplaçant x par un nombre.

★ Pour aller plus loin

Avant les lettres, les identités étaient des dessins. Vers 300 av. n. è., Euclide montre dans ses Éléments que le carré construit sur la somme de deux longueurs se découpe en deux carrés et deux rectangles égaux : c'est (a + b)² = a² + 2ab + b², sans aucune lettre !

Au IXe siècle, à Bagdad, le savant al-Khwarizmi écrit un traité de résolution d'équations dont le titre contient le mot « al-jabr » : il a donné naissance au mot algèbre. Son propre nom a donné le mot algorithme.

Et (a + b)³ ? En développant, tu obtiendrais a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Les coefficients 1, 3, 3, 1 se lisent dans le triangle de Pascal, où chaque nombre est la somme des deux nombres placés au-dessus de lui.

Sources pour creuser

• Livre : L'Homme qui calculait, Malba Tahan — des énigmes de calcul racontées comme des contes orientaux.
• Livre : Le Grand Roman des maths, Mickaël Launay (Flammarion) — pour découvrir al-Khwarizmi et la naissance de l'algèbre.
• Chaîne YouTube Yvan Monka : cherche « Double distributivité » et « Identités remarquables ».
• lumni.fr : recherche « calcul littéral » (niveau Troisième).