Les briques des nombres : facteurs premiers et fractions irréductibles

Pour la fête de fin d'année, tu prépares des sachets surprises avec 84 bonbons et 60 sucettes. Tous les sachets doivent être identiques, et il ne doit rien rester. Combien de sachets peux-tu faire, au maximum ? Tu pourrais essayer au hasard… ou utiliser l'outil des mathématiciens : décomposer les nombres en facteurs premiers, leurs briques élémentaires.

1. Les nombres premiers

Un nombre premier est un entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

• 7 est premier : ses seuls diviseurs sont 1 et 7.
• 15 n'est pas premier : il est divisible par 3 et par 5.
• 1 n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur.

Les nombres premiers inférieurs à 30 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29. Le nombre 2 est le seul nombre premier pair.

Comment savoir si un nombre est premier ? On essaie de le diviser par 2, 3, 5, 7, 11… et on peut s'arrêter dès que le carré du diviseur essayé dépasse le nombre. Exemple : 97 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7 ; et 11 × 11 = 121 dépasse 97. Donc 97 est premier.

Rappel des critères de divisibilité :

• par 2 : le chiffre des unités est pair ;
• par 3 : la somme des chiffres est un multiple de 3 ;
• par 5 : le chiffre des unités est 0 ou 5 ;
• par 9 : la somme des chiffres est un multiple de 9.

2. Décomposer en produit de facteurs premiers

Propriété : tout entier supérieur ou égal à 2 s'écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique (à l'ordre des facteurs près).

Méthode : on divise par le plus petit nombre premier possible, puis on recommence avec le quotient, jusqu'à obtenir 1.

Exemple 1 : décomposer 360.

• 360 ÷ 2 = 180
• 180 ÷ 2 = 90
• 90 ÷ 2 = 45 (45 est impair : on passe à 3)
• 45 ÷ 3 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• 5 ÷ 5 = 1

On a divisé trois fois par 2, deux fois par 3 et une fois par 5 : 360 = 2³ × 3² × 5. Vérification : 8 × 9 × 5 = 360.

De la même façon :

• 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7 ;
• 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5.

3. Les diviseurs communs

Un diviseur commun à deux nombres est fabriqué uniquement avec des facteurs premiers présents dans les deux décompositions.

Exemple 2 : les sachets. 84 = 2² × 3 × 7 et 60 = 2² × 3 × 5. La partie commune est 2² × 3 = 12. Les diviseurs communs à 84 et 60 sont donc les diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Le plus grand est 12 : on l'appelle le plus grand commun diviseur (PGCD).

Tu peux préparer au maximum 12 sachets, contenant chacun 84 ÷ 12 = 7 bonbons et 60 ÷ 12 = 5 sucettes.

4. Rendre une fraction irréductible

Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1 : on ne peut plus la simplifier.

Méthode : on décompose le numérateur et le dénominateur, puis on supprime les facteurs communs.

Exemple 3 : 8460 = 2² × 3 × 72² × 3 × 5 = 75.

Exemple 4 : 126 = 2 × 3² × 7 et 210 = 2 × 3 × 5 × 7. Les facteurs communs sont 2, 3 et 7, dont le produit vaut 42. Donc 126210 = 126 ÷ 42210 ÷ 42 = 35.

On peut aussi simplifier par étapes (par 2, puis par 3, puis par 7) : on arrive au même résultat, mais il faut vérifier à la fin qu'il ne reste aucun facteur commun. En divisant directement par le PGCD, on y arrive en une seule fois.

À retenir

• Un nombre premier a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même ; 1 n'est pas premier.
• Tout entier à partir de 2 se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers, par divisions successives.
• Les diviseurs communs de deux nombres se construisent avec les facteurs premiers communs à leurs décompositions.
• Une fraction est irréductible quand numérateur et dénominateur n'ont plus de diviseur commun autre que 1.

★ Pour aller plus loin

Combien existe-t-il de nombres premiers ? Une infinité ! Euclide l'a démontré vers 300 av. n. è., dans ses Éléments, par un raisonnement de quelques lignes. Quelques décennies plus tard, Ératosthène inventait un « crible » pour les trouver tous jusqu'à un nombre donné.

Les nombres premiers protègent tes données. Le chiffrement RSA, inventé en 1977 et toujours utilisé sur Internet, repose sur une idée simple : multiplier deux très grands nombres premiers est facile, mais retrouver ces deux facteurs à partir de leur produit prendrait un temps immense, même à un ordinateur.

Et pourquoi 360 degrés dans un tour ? On attribue ce choix aux astronomes babyloniens. Or 360 = 2³ × 3² × 5 possède 24 diviseurs : on peut partager un tour en 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12… parts égales d'un nombre entier de degrés.

Sources pour creuser

• Livre : Le Théorème du perroquet, Denis Guedj (Seuil) — un roman policier où l'on croise Euclide, Ératosthène et bien d'autres.
• Livre : La Symphonie des nombres premiers, Marcus du Sautoy — pour les plus curieux, le grand mystère des nombres premiers.
• Chaîne YouTube Yvan Monka : cherche « Décomposer en produit de facteurs premiers » et « Rendre une fraction irréductible ».
• Chaîne YouTube Micmaths (Mickaël Launay) : cherche « nombres premiers ».
• lumni.fr : recherche « nombres premiers » (niveau Troisième).