Une pente et un point de départ : les fonctions linéaires et affines

Tu montes dans un taxi. Le compteur affiche déjà 3 € avant même de démarrer, puis il ajoute 1,50 € à chaque kilomètre. Au marché, le vendeur de pommes, lui, ne fait payer que le poids : 2,40 € le kilo, rien de plus. Ces deux façons de calculer un prix sont les deux héroïnes de ce cours : la fonction affine (le taxi) et la fonction linéaire (les pommes). Elles ont un point commun : leur courbe est toujours une droite.

1. La fonction linéaire : la proportionnalité en version fonction

Le prix des pommes est proportionnel au poids. Pour x kilos, on paie 2,4 × x euros. On écrit :

g(x) = 2,4x

Une fonction linéaire est de la forme g(x) = a × x, souvent écrite g(x) = ax. Le nombre a est le coefficient : c'est le coefficient de proportionnalité que tu connais depuis la sixième.

Propriétés à connaître :

• g(0) = 0 : avec 0 kilo, on paie 0 €. La droite passe donc toujours par l'origine du repère.
• Pour retrouver a, il suffit d'UNE valeur : si g(4) = 10, alors a = 10 ÷ 4 = 2,5 et g(x) = 2,5x.

2. La fonction affine : la même chose, avec un décalage

Pour le taxi, le prix d'une course de x km est 1,5 × x + 3. On écrit :

f(x) = 1,5x + 3

Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b.

• a est le coefficient directeur : c'est la pente de la droite. Il dit de combien f(x) augmente quand x augmente de 1 (ici 1,50 € par kilomètre).
• b est l'ordonnée à l'origine : c'est f(0), la valeur au départ (ici les 3 € de prise en charge). La droite coupe l'axe vertical à la hauteur b.

Remarque importante : une fonction linéaire est une fonction affine particulière, avec b = 0. Et une fonction constante comme f(x) = 4 est aussi affine, avec a = 0 (droite horizontale).

3. Reconnaître le type d'une fonction

• f(x) = −3x + 5 : affine (a = −3, b = 5).
• g(x) = 7x : linéaire (a = 7), donc aussi affine avec b = 0.
• h(x) = x² + 1 : ni l'une ni l'autre (il y a un carré, la courbe n'est pas une droite).
• k(x) = x4 : linéaire, car x4 = 0,25 × x, donc a = 0,25.

Pour tracer une droite, deux points suffisent. Pour f(x) = 1,5x + 3 : f(0) = 3 donne le point (0 ; 3) et f(4) = 9 donne le point (4 ; 9). On place les deux points, on les relie à la règle, on prolonge.

4. Retrouver l'expression à partir de deux valeurs

C'est la compétence reine du brevet. Exemple 1. Une fonction affine f vérifie f(2) = 9 et f(5) = 18. Quelle est son expression ?

Étape 1, le coefficient directeur : a = f(5) − f(2)5 − 2 = 18 − 93 = 93 = 3. Retiens la formule : a = différence des imagesdifférence des antécédents, dans le même ordre en haut et en bas.

Étape 2, l'ordonnée à l'origine. On sait que f(x) = 3x + b et que f(2) = 9. Donc 3 × 2 + b = 9, soit 6 + b = 9, donc b = 3.

Conclusion : f(x) = 3x + 3. Vérification avec l'autre valeur : f(5) = 15 + 3 = 18. Parfait.

5. Lire l'expression sur une droite

Exemple 2. Une droite est tracée dans un repère. Elle coupe l'axe vertical en 2 et passe par le point (4 ; 10).

• L'ordonnée à l'origine se lit directement : b = 2.
• Pour la pente, on part du point (0 ; 2) et on va jusqu'à (4 ; 10) : on avance de 4 et on monte de 8. Donc a = 84 = 2.
• La fonction est f(x) = 2x + 2.

Si la droite descend quand on va vers la droite, le coefficient directeur est négatif. Exemple 3. Une droite passe par (0 ; 6) et (3 ; 0) : b = 6, et a = 0 − 63 − 0 = −63 = −2. La fonction est f(x) = −2x + 6.

À retenir

• Linéaire : g(x) = ax. Droite qui passe par l'origine ; traduit une situation de proportionnalité.
• Affine : f(x) = ax + b. Droite qui coupe l'axe vertical en b.
• a = coefficient directeur (pente) ; a positif → droite qui monte ; a négatif → droite qui descend.
• b = ordonnée à l'origine = f(0).
• Avec deux valeurs : a = f(x₂) − f(x₁)x₂ − x₁, puis on trouve b en remplaçant dans f(x) = ax + b.

★ Pour aller plus loin

Pourquoi « affine » ? Le mot vient du latin affinis, « voisin, apparenté » : une fonction affine est « apparentée » à la fonction linéaire, elle lui ressemble à un décalage près. Le terme a été popularisé par le mathématicien Leonhard Euler au XVIIIe siècle.

Les scientifiques adorent les droites. Quand on mesure la dilatation d'un rail de chemin de fer selon la température, ou la tension aux bornes d'une résistance selon l'intensité (la loi d'Ohm, U = R × I, est une fonction linéaire !), les points s'alignent. Trouver « la meilleure droite » qui passe au milieu d'un nuage de points s'appelle une régression linéaire : c'est l'une des premières briques de l'intelligence artificielle.

Au lycée, tu apprendras que le coefficient directeur se généralise à n'importe quelle courbe : en chaque point, on peut calculer la pente de la tangente. Ce nombre s'appelle la dérivée, et il permet de savoir si une fonction monte ou descend, même quand ce n'est pas une droite.

Sources pour creuser

• Livre : Le Grand Roman des maths, Mickaël Launay (Flammarion) — l'histoire des coordonnées et de Descartes, qui a eu l'idée de dessiner les équations.
• Livre : Maths 3e – Tout le programme dans une collection parascolaire reconnue (Hatier « Pour comprendre » ou Nathan « Mon cahier ») : des rappels et exercices corrigés sur les fonctions affines.
• Chaîne YouTube Yvan Monka (Maths et tiques) : cherche « Fonctions affines - Troisième » et « Déterminer une fonction affine à partir de deux valeurs ».
• Chaîne YouTube Hedacademy : cherche « fonction affine 3ème » pour une explication très visuelle du coefficient directeur.
• lumni.fr : Collège > Troisième > Mathématiques, recherche « fonction affine ».
• eduscol.education.fr : le programme officiel de mathématiques du cycle 4.