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Le pouvoir des puissances : dompter les nombres géants

Troisième · Mathématiques · environ 20 min

Imagine que tu veux écrire la distance entre la Terre et le Soleil : 150 000 000 km. Ou la taille d'un virus : 0,000 000 03 m. Ces nombres avec des tonnes de zéros sont pénibles à écrire et faciles à rater ! Les scientifiques ont inventé une arme secrète : les puissances et la notation scientifique. Après ce cours, tu manipuleras ces monstres de zéros comme un chef.

1. Rappel : c'est quoi une puissance ?

Une puissance, c'est une multiplication répétée du même nombre.

10³ = 10 × 10 × 10 = 1000

Le petit nombre en haut s'appelle l'exposant. Il te dit combien de fois tu multiplies.

Avec les puissances de 10, c'est magique : l'exposant = le nombre de zéros !

  • 10² = 100 (2 zéros)
  • 10⁶ = 1 000 000 (6 zéros)
Puissances de 10 Dix puissance trois, c'est dix multiplié trois fois par lui-même, soit mille. L'écriture scientifique s'appuie là-dessus : le nombre 3400 s'écrit 3,4 fois dix puissance trois, en déplaçant la virgule de trois rangs vers la gauche. 103 = 10 × 10 × 10 = 1000 3400 3 rangs = 3,4 × 103 écriture scientifique : a × 10ⁿ (1 ≤ a < 10)
Les puissances de 10 : l'exposant indique le nombre de zéros

Et pour les exposants négatifs ?

10⁻³ = 110³ = 11000 = 0{,}001

L'exposant négatif donne un tout petit nombre. 10⁻³ = « 0, puis on décale la virgule de 3 rangs ».

2. Les propriétés des puissances

Ce sont des raccourcis qui t'évitent de calculer à la main. Retiens ces trois règles (ici avec le même nombre a) :

Règle 1 — Produit : quand tu multiplies, tu additionnes les exposants.

a^m × aⁿ = a^m+n

Exemple : 10⁴ × 10³ = 10⁴⁺³ = 10⁷

Règle 2 — Quotient : quand tu divises, tu soustrais les exposants.

a^maⁿ = a^m-n

Exemple : 10⁸10⁵ = 10⁸⁻⁵ = 10³

Règle 3 — Puissance de puissance : tu multiplies les exposants.

(a^m)ⁿ = a^m × n

Exemple : (10²)³ = 10^2 × 3 = 10⁶

3. La notation scientifique

C'est LA façon propre d'écrire un nombre. On l'écrit sous la forme :

a × 10ⁿ

où a est un nombre entre 1 et 10 (un seul chiffre avant la virgule) et n un entier.

Puissances de 10 Dix puissance trois, c'est dix multiplié trois fois par lui-même, soit mille. L'écriture scientifique s'appuie là-dessus : le nombre 3400 s'écrit 3,4 fois dix puissance trois, en déplaçant la virgule de trois rangs vers la gauche. 103 = 10 × 10 × 10 = 1000 3400 3 rangs = 3,4 × 103 écriture scientifique : a × 10ⁿ (1 ≤ a < 10)
Notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10

Exemple 1 — grand nombre : 150 000 000 Je place la virgule après le premier chiffre : 1,5. J'ai décalé la virgule de 8 rangs vers la gauche, donc :

150 000 000 = 1,5 × 10⁸

Exemple 2 — petit nombre : 0,000 000 03 Je place la virgule après le 3 : 3. J'ai décalé de 8 rangs vers la droite, donc exposant négatif :

0,000 000 03 = 3 × 10⁻⁸

Astuce : grand nombre → exposant positif. Petit nombre (< 1) → exposant négatif.

À retenir

  • Une puissance de 10 : l'exposant = nombre de zéros (10⁵ = 100 000).
  • Multiplier = additionner les exposants ; diviser = soustraire.
  • Puissance d'une puissance = multiplier les exposants.
  • Notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10.
  • Grand nombre → n positif ; petit nombre → n négatif.

Corrections

Exercice 1 : On multiplie, donc on additionne les exposants : 7 + (-4) = 3. Résultat : 10⁷ × 10⁻⁴ = 10³.

Exercice 2 : Je place la virgule après le premier chiffre : 4,23. J'ai décalé de 4 rangs vers la gauche (grand nombre → exposant positif). Résultat : 42 300 = 4,23 × 10⁴.

Exercice 3 : Je déplace la virgule après le premier chiffre non nul (5) : 5,6. J'ai décalé de 3 rangs vers la droite (petit nombre → exposant négatif). Résultat : 0,0056 = 5,6 × 10⁻³.

Bravo ! Tu tiens désormais l'arme secrète des scientifiques.