School 47
Se connecter

Les trois outils du géomètre : mesurer sans règle

Troisième · Mathématiques · environ 20 min

Imagine : tu veux connaître la hauteur d'un arbre géant sans grimper dessus, ou la largeur d'une rivière sans te mouiller les pieds. Impossible ? Pas du tout ! Les mathématiciens ont inventé trois outils magiques qui permettent de calculer des longueurs et des angles qu'on ne peut pas mesurer directement. Ces trois outils s'appellent Pythagore, Thalès et la trigonométrie. Aujourd'hui, tu deviens un vrai géomètre !

Outil n°1 : le théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore Un triangle rectangle. Sur chacun de ses côtés est dessiné un carré : le carré du petit côté (a²) et celui de l'autre côté de l'angle droit (b²), plus le grand carré posé sur l'hypoténuse (c²). L'aire des deux petits carrés réunis égale l'aire du grand : a² + b² = c². a² b² c² a b c a² + b² = c²
Le triangle rectangle et ses trois côtés

Il fonctionne uniquement dans un triangle rectangle (un triangle qui a un angle droit). Le côté le plus long, face à l'angle droit, s'appelle l'hypoténuse.

La règle : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

BC² = AB² + AC²

Exemple : un triangle rectangle en A avec AB = 3 cm et AC = 4 cm.

BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

Donc BC = √25 = 5 cm. L'hypoténuse mesure 5 cm !

Outil n°2 : le théorème de Thalès

Le théorème de Thalès Un triangle ABC de sommet A. Une droite passant par M sur le côté AB et N sur le côté AC est parallèle au côté BC (marques de parallélisme). Alors les longueurs sont proportionnelles : AM divisé par AB égale AN divisé par AC, qui égale MN divisé par BC. À ne pas confondre avec le théorème de Pythagore. ABC MN AM/AB = AN/AC = MN/BC
Droites parallèles et segments proportionnels

Il sert quand deux droites sont coupées par des droites parallèles. Il permet de calculer une longueur grâce à des rapports (des fractions) égaux.

Exemple : Les points A, M, B sont alignés et A, N, C sont alignés. Si (MN) est parallèle à (BC), alors :

AMAB = ANAC = MNBC

Si AM = 2, AB = 6 et AN = 3, on cherche AC :

26 = 3AC Rightarrow AC = 6 × 32 = 9

Outil n°3 : la trigonométrie

Le triangle rectangle et l'angle Un triangle rectangle repéré depuis un de ses angles aigus. L'hypoténuse, en orange, est le plus long côté, face à l'angle droit. Le côté adjacent, en bleu, touche l'angle repéré ; le côté opposé, en vert, lui fait face. Le cosinus de l'angle est le rapport du côté adjacent sur l'hypoténuse. θ adjacent hypoténuse opposé cos θ = adjacent ÷ hypoténuse
Hypoténuse, côté adjacent, côté opposé

Elle relie les angles et les côtés d'un triangle rectangle. Trois formules à retenir, avec le mot magique SOH-CAH-TOA :

  • Sinus = Opposé / Hypoténuse
  • Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
  • Tangente = Opposé / Adjacent

« Opposé » et « adjacent » se repèrent par rapport à l'angle qui t'intéresse.

Exemple : dans un triangle rectangle, l'angle vaut 30°, et l'hypoténuse mesure 10 cm. On veut le côté opposé.

sin(30°) = fracopposé10 Rightarrow opposé = 10 × sin(30°) = 10 × 0,5 = 5 cm

À retenir

  • Pythagore : triangle rectangle, hypoténuse² = côté² + côté².
  • Thalès : droites parallèles → rapports égaux (fractions). Attention à mettre les longueurs du même triangle « au même étage ».
  • Trigonométrie : relie angles et longueurs avec SOH-CAH-TOA.
  • Pour trouver un angle à partir des côtés, on utilise les touches sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ de la calculatrice.
  • Vérifie toujours que ton triangle est bien rectangle avant Pythagore ou la trigonométrie !

Corrections

Exercice 1 : Pythagore : BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Donc BC = √100 = 10 cm.

Exercice 2 : Thalès : AMAB = MNBC, donc 410 = MN15. On calcule : MN = 4 × 1510 = 6 cm.

Exercice 3 : L'angle est B̂, AB est le côté adjacent, BC est l'hypoténuse. On utilise le cosinus : cos(40°) = AB12, donc AB = 12 × cos(40°) ≈ 12 × 0,766 ≈ 9,2 cm.

Bravo ! Tu maîtrises maintenant les trois outils du géomètre.