School 47
Se connecter

La balance mystérieuse : je traduis un problème en équation

Troisième · Mathématiques · environ 20 min

Tu as sûrement déjà pensé : « Je cherche un nombre… mais je ne le connais pas encore ! » Par exemple : « J'ai économisé de l'argent, j'ai dépensé 12 €, et il me reste 25 €. Combien avais-je au départ ? » Ton cerveau a une question, mais pas la réponse. Bonne nouvelle : les mathématiques ont un outil magique pour ça, l'équation. C'est comme une balance qui garde toujours son équilibre.

À quoi sert une équation ?

Une équation, c'est une égalité avec un nombre inconnu, qu'on appelle presque toujours x. Résoudre l'équation, c'est trouver la valeur de x qui rend l'égalité vraie.

Le grand principe : imagine une balance en équilibre. Ce qu'il y a à gauche du signe « = » pèse autant que ce qu'il y a à droite. Si tu ajoutes, enlèves, multiplies ou divises des deux côtés de la même façon, la balance reste équilibrée !

L'équation : la balance Une balance à deux plateaux. À gauche le plateau porte x + 3, à droite il porte 8 : les deux plateaux sont à la même hauteur, la balance est équilibrée. Résoudre l'équation, c'est faire la même opération des deux côtés pour garder l'équilibre. x + 3 = 8 x + 3 8 on garde toujours l'équilibre
La balance : deux côtés égaux, on fait la même opération partout

Étape 1 : mettre le problème en équation

Il faut traduire les mots en langage mathématique.

Exemple 1 : « Je pense à un nombre, je le multiplie par 3, j'ajoute 5, j'obtiens 20. »

  • Le nombre inconnu → x
  • « multiplié par 3 » → 3x
  • « ajoute 5 » → 3x + 5
  • « j'obtiens 20 » → = 20

L'équation est : 3x + 5 = 20

Étape 2 : résoudre l'équation

On veut isoler x (le laisser seul d'un côté).

L'équation : la balance Une balance à deux plateaux. À gauche le plateau porte x + 3, à droite il porte 8 : les deux plateaux sont à la même hauteur, la balance est équilibrée. Résoudre l'équation, c'est faire la même opération des deux côtés pour garder l'équilibre. x + 3 = 8 x + 3 8 on garde toujours l'équilibre
Isoler x : enlever 5 des deux côtés garde l'équilibre

3x + 5 = 20

  • J'enlève 5 des deux côtés : 3x + 5 − 5 = 20 − 5 → 3x = 15
  • Je divise par 3 des deux côtés : 3x ÷ 3 = 15 ÷ 3 → x = 5

Vérification : 3 × 5 + 5 = 15 + 5 = 20 Génial !

Exemple 2 : Un livre et un stylo coûtent 18 €. Le livre coûte 3 fois le prix du stylo. Combien coûte le stylo ?

  • Prix du stylo → x
  • Prix du livre → 3x
  • Ensemble : x + 3x = 18 → 4x = 18 → x = 18 ÷ 4 = 4,50 €
  • Le livre coûte 3 × 4,50 = 13,50 €. Total : 4,50 + 13,50 = 18

Étape 3 : les inéquations

Parfois, on ne cherche pas une égalité mais une comparaison : « au moins », « pas plus de », « au minimum »… On utilise alors les signes < , > , ≤ , ≥.

Exemple 3 : « J'ai 30 €. Chaque cahier coûte 4 €. Combien puis-je en acheter au maximum ? »

  • Nombre de cahiers → x
  • Coût : 4x, qui ne doit pas dépasser 30 → 4x ≤ 30
  • Je divise par 4 : x ≤ 7,5

Comme x est un nombre entier de cahiers, je peux en acheter 7 au maximum.

! Attention ! Si tu multiplies ou divises une inéquation par un nombre négatif, tu dois inverser le sens du signe !

À retenir

  • Le nombre inconnu se note x ; l'équation est une égalité à équilibrer comme une balance.
  • Pour résoudre : fais la même opération des deux côtés pour isoler x.
  • L'ordre : d'abord enlever/ajouter, ensuite multiplier/diviser.
  • Une inéquation utilise <, >, ≤, ≥ ; on la résout comme une équation.
  • Multiplier/diviser par un négatif → on inverse le signe de l'inéquation.
  • Vérifie toujours ta réponse en la replaçant dans l'énoncé !

Corrections

Exercice 1 : 2x + 7 = 19. J'enlève 7 des deux côtés : 2x = 12. Je divise par 2 : x = 6. Vérif : 2 × 6 + 7 = 19

Exercice 2 : Équation : 3x − 4 = 11. J'ajoute 4 : 3x = 15. Je divise par 3 : x = 5. Vérif : 3 × 5 − 4 = 11

Exercice 3 : Inéquation : 8x ≤ 50. Je divise par 8 : x ≤ 6,25. Comme il faut un nombre entier de places : 6 places au maximum (6 × 8 = 48 €, il lui reste 2 €).