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Évolutions en cascade : taux, coefficient multiplicateur et taux réciproque

Seconde · Mathématiques · environ 20 min

Un jean affiché 60 € est soldé à −30 %. À la caisse, une pancarte promet « −20 % supplémentaires ». Tu calcules vite : 30 + 20 = 50, le jean devrait coûter 30 €. Le ticket indique 33,60 €. Le magasin s'est-il trompé ? Non : les pourcentages ne s'additionnent pas, ils se multiplient. Ce cours te donne l'outil qui démasque publicités, statistiques et intérêts bancaires : le coefficient multiplicateur.

1. Proportion et pourcentage

Une proportion est le quotient d'une partie par un total : si 12 élèves sur 30 sont gauchers, la proportion de gauchers est 12 ÷ 30 = 0,4. Un pourcentage est la même chose écrite sur 100 : 0,4 = 40 %. Pour calculer t % d'une quantité, on la multiplie par t100 : 40 % de 30 élèves, c'est 30 × 0,4 = 12.

Attention aux proportions de proportions. Dans un lycée, 60 % des élèves sont des filles et 25 % des filles font du sport en club : la proportion de filles sportives dans le lycée est 0,60 × 0,25 = 0,15, soit 15 %, et non 25 %. On ne compare des pourcentages que s'ils portent sur le même total.

La proportionnalité Une recette qu'on double : à chaque ligne on multiplie par le même nombre, deux. Les parts passent de un à deux, les œufs passent de deux à quatre. Le même coefficient sur chaque ligne : c'est une situation de proportionnalité. ×2 ×2 simple le double parts œufs 1 2 2 4

2. Taux d'évolution

Quand une valeur passe d'une valeur de départ VD à une valeur d'arrivée VA, son taux d'évolution est :

t = VA − VDVD

Positif pour une hausse, négatif pour une baisse, il s'exprime souvent en pourcentage. Exemple : un loyer passe de 2 400 € à 2 760 € par trimestre : t = 360 ÷ 2 400 = 0,15, une hausse de 15 %. On divise toujours par la valeur de départ.

3. Le coefficient multiplicateur

Augmenter une valeur de 15 %, c'est lui ajouter 0,15 fois elle-même : VA = VD + 0,15 × VD = 1,15 × VD. Le nombre 1,15 est le coefficient multiplicateur (CM) de la hausse. Pour une baisse de 30 % : VA = VD − 0,30 × VD = 0,70 × VD.

Règle générale : CM = 1 + t, avec t en décimal (positif ou négatif). Une hausse donne un CM supérieur à 1, une baisse un CM entre 0 et 1. Dans l'autre sens, t = CM − 1 : un prix multiplié par 0,45 a baissé de 55 %.

Exemple travaillé : un vélo coûte 540 € après une hausse de 20 %. Quel était son prix ? 540 = 1,2 × VD, donc VD = 540 ÷ 1,2 = 450 €. Erreur classique : retirer 20 % de 540, soit 432 €, un prix faux.

4. Évolutions successives

Pour enchaîner plusieurs évolutions, on multiplie les coefficients. Le jean de l'introduction : 60 × 0,70 × 0,80 = 60 × 0,56 = 33,60 €. Le coefficient global est 0,56, soit une baisse de 44 %, et non de 50 %.

  • Deux hausses de 10 % : CM = 1,1 × 1,1 = 1,21, soit +21 % (et non +20 %).
  • Une hausse de 20 % puis une baisse de 20 % : CM = 1,2 × 0,8 = 0,96, soit −4 % : on ne revient pas au point de départ.
  • Trois hausses de 5 % : CM = 1,05³ = 1,157625, soit environ +15,8 %.

5. Évolution réciproque

L'évolution réciproque ramène à la valeur de départ. Son coefficient est l'inverse du premier : CM' = 1CM.

Exemple travaillé : après une hausse de 25 % (CM = 1,25), il faut multiplier par 11,25 = 0,8 pour revenir au prix initial, soit une baisse de 20 %. Après une baisse de 20 % (CM = 0,8), le retour exige 10,8 = 1,25, soit une hausse de 25 %. Ce n'est jamais le même pourcentage dans les deux sens, car les deux évolutions ne portent pas sur la même valeur de départ.

À retenir

  • Proportion = partie ÷ total ; pourcentage = proportion × 100 ; une proportion de proportion se multiplie.
  • Taux d'évolution t = (VA − VD) ÷ VD, toujours par rapport à la valeur de départ.
  • Coefficient multiplicateur CM = 1 + t ; hausse ⇒ CM > 1, baisse ⇒ CM < 1 ; VA = CM × VD.
  • Évolutions successives : les CM se multiplient (les pourcentages ne s'additionnent jamais).
  • Évolution réciproque : CM' = 1 ÷ CM ; +25 % se compense par −20 %.

★ Pour aller plus loin

Un piège de journaliste : quand un taux de chômage passe de 8 % à 10 %, la hausse est de 2 points de pourcentage, mais de 2 ÷ 8 = 25 % en taux d'évolution. Les deux formulations sont correctes et ne disent pas la même chose ; un titre qui annonce « +2 % » est faux.

Les intérêts d'un livret d'épargne sont une évolution qui se répète chaque année : un capital placé à 3 % par an est multiplié par 1,03ⁿ au bout de n années, et il a doublé au bout de 24 ans environ. En Première, ces multiplications répétées s'appelleront des suites géométriques.

Sources pour creuser

  • Jordan Ellenberg, L'Art de ne pas dire n'importe quoi (Cassini) : les maths du quotidien contre les raisonnements faux.
  • Darrell Huff, How to Lie with Statistics (1954) : le classique, court et drôle, sur les manipulations par les chiffres (en anglais).
  • Chaîne YouTube « Yvan Monka » (site maths-et-tiques.fr) : vidéos de Seconde « taux d'évolution », « évolutions successives », « évolution réciproque ».
  • insee.fr : l'indice des prix et les taux d'inflation réels, pour t'entraîner sur de vrais chiffres.
  • lumni.fr (Seconde, Mathématiques) ; education.gouv.fr, programme de Seconde (BO spécial n° 1 du 22 janvier 2019).