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Mesurer sans toucher : Pythagore, Thalès et trigonométrie

Seconde · Mathématiques · environ 20 min

Comment connaître la hauteur d'un immeuble sans y grimper, ou la largeur d'une rivière sans la traverser ? Depuis l'Antiquité, les géomètres mesurent ce qu'ils ne peuvent pas toucher grâce à quelques configurations du plan : le triangle rectangle, les droites parallèles, les angles. Ce cours rassemble ces outils, sans repère ni coordonnées : des longueurs, des angles et un raisonnement.

1. Le triangle rectangle : Pythagore et sa réciproque

Théorème de Pythagore. Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC² (l'hypoténuse [BC], opposée à l'angle droit, est le plus long côté).

Réciproque. Si BC² = AB² + AC², alors ABC est rectangle en A.

Le théorème de Pythagore Un triangle rectangle. Sur chacun de ses côtés est dessiné un carré : le carré du petit côté (a²) et celui de l'autre côté de l'angle droit (b²), plus le grand carré posé sur l'hypoténuse (c²). L'aire des deux petits carrés réunis égale l'aire du grand : a² + b² = c². a² b² c² a b c a² + b² = c²

Exemple travaillé : une échelle de 5 m est posée contre un mur, son pied à 1,40 m du mur. Sol, mur et échelle forment un triangle rectangle dont l'échelle est l'hypoténuse : h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04, donc h = √23,04 = 4,8 m.

Exemple de réciproque : un triangle de côtés 20 cm, 21 cm et 29 cm. On calcule 20² + 21² = 400 + 441 = 841 = 29² : il est rectangle. Par contraposée, si BC² ≠ AB² + AC², le triangle n'est pas rectangle en A.

2. Les droites parallèles : théorème de Thalès

Soit un triangle ABC, M un point de (AB) et N un point de (AC). Si (MN) est parallèle à (BC), alors :

AMAB = ANAC = MNBC

Le théorème de Thalès Un triangle ABC de sommet A. Une droite passant par M sur le côté AB et N sur le côté AC est parallèle au côté BC (marques de parallélisme). Alors les longueurs sont proportionnelles : AM divisé par AB égale AN divisé par AC, qui égale MN divisé par BC. À ne pas confondre avec le théorème de Pythagore. ABC MN AM/AB = AN/AC = MN/BC

Exemple travaillé : au même instant, une personne de 1,80 m projette une ombre de 1,20 m, et un arbre une ombre de 8,40 m. Les rayons du Soleil sont parallèles : on est dans la configuration de Thalès. Donc hauteur ÷ 8,40 = 1,80 ÷ 1,20, soit hauteur = 1,80 × 8,40 ÷ 1,20 = 12,6 m.

Réciproque : si A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre et si AM ÷ AB = AN ÷ AC, alors (MN) et (BC) sont parallèles. Par contraposée, si les quotients diffèrent, les droites ne sont pas parallèles.

3. Les angles : trigonométrie du triangle rectangle

Dans un triangle ABC rectangle en A, pour l'angle aigu B :

  • cos B = AB ÷ BC (adjacent sur hypoténuse) ;
  • sin B = AC ÷ BC (opposé sur hypoténuse) ;
  • tan B = AC ÷ AB (opposé sur adjacent).
Le triangle rectangle et l'angle Un triangle rectangle repéré depuis un de ses angles aigus. L'hypoténuse, en orange, est le plus long côté, face à l'angle droit. Le côté adjacent, en bleu, touche l'angle repéré ; le côté opposé, en vert, lui fait face. Le cosinus de l'angle est le rapport du côté adjacent sur l'hypoténuse. θ adjacent hypoténuse opposé cos θ = adjacent ÷ hypoténuse

Le moyen mnémotechnique CAH SOH TOA résume les trois formules. Calculatrice en mode degrés ; pour retrouver un angle à partir d'un quotient, on utilise cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹.

Exemple 1 : une rampe de 6 m fait un angle de 8° avec le sol ; la hauteur (côté opposé) vaut 6 × sin 8° ≈ 6 × 0,1392 ≈ 0,84 m. Exemple 2 : l'échelle du début fait avec le sol un angle α tel que cos α = 1,4 ÷ 5 = 0,28, soit α = cos⁻¹(0,28) ≈ 73,7°.

4. Le projeté orthogonal

Soit une droite Δ et un point M hors de Δ. Le projeté orthogonal de M sur Δ est le point H de Δ tel que (MH) soit perpendiculaire à Δ : le pied de la perpendiculaire à Δ passant par M.

Propriété (démonstration du programme). H est le point de Δ le plus proche de M. Pour tout autre point P de Δ, le triangle MHP est rectangle en H, donc MP² = MH² + HP² ; comme HP² > 0, MP² > MH², donc MP > MH. La longueur MH est la distance de M à Δ.

Exemple : ABC rectangle en A, AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm, H projeté orthogonal de A sur (BC). L'aire vaut AB × AC ÷ 2 = BC × AH ÷ 2, donc AH = 12 ÷ 5 = 2,4 cm : la distance de A à (BC).

À retenir

  • Pythagore : ABC rectangle en A ⇔ BC² = AB² + AC² (théorème et réciproque).
  • Thalès : (MN) ∥ (BC), M sur (AB), N sur (AC) ⇒ AM ÷ AB = AN ÷ AC = MN ÷ BC ; la réciproque exige des points alignés dans le même ordre.
  • Trigonométrie : cos = adjacent ÷ hypoténuse, sin = opposé ÷ hypoténuse, tan = opposé ÷ adjacent.
  • Le projeté orthogonal H de M sur Δ est le point de Δ le plus proche de M ; MH est la distance de M à Δ.

★ Pour aller plus loin

Vers 240 av. n. è., Ératosthène a mesuré la circonférence de la Terre sans la parcourir : à midi au solstice d'été, le Soleil était à la verticale de Syène (Assouan), alors qu'à Alexandrie ses rayons faisaient 7,2° avec la verticale, un cinquantième de tour. La distance Syène-Alexandrie valant environ 5 000 stades, il en déduisit 250 000 stades, remarquablement proche des 40 000 km réels. Plus de trois siècles plus tôt, selon Plutarque, Thalès aurait mesuré la grande pyramide avec son ombre.

Au passage, sin² B + cos² B = (AC² + AB²) ÷ BC² = 1 d'après Pythagore : une identité que tu retrouveras en Première, avec le cercle trigonométrique et la formule d'Al-Kashi, qui généralise Pythagore aux triangles quelconques.

Sources pour creuser

  • Mickaël Launay, Le Théorème du parapluie (Flammarion) : « l'art d'observer le monde dans le bon sens », mesurer la Terre compris.
  • Denis Guedj, Les Cheveux de Bérénice (Seuil) : le roman de la mesure de la Terre par Ératosthène.
  • Chaîne YouTube « Yvan Monka » (site maths-et-tiques.fr) : vidéos de Seconde sur le projeté orthogonal et la géométrie plane.
  • Chaîne YouTube « Hedacademy » : exercices corrigés sur Thalès, Pythagore et la trigonométrie.
  • lumni.fr (Seconde, Mathématiques) ; education.gouv.fr, programme de Seconde (BO spécial n° 1 du 22 janvier 2019).