Moyenne, médiane, écart type : faire parler une série de nombres

« Ta moyenne de maths ce trimestre : 12,4. » Un seul nombre pour onze notes, mais un résumé peut mentir : une moyenne de 12,4 cache aussi bien des notes toutes proches de 12 qu'un mélange de 4 et de 20. Pour décrire honnêtement une série, il faut plusieurs indicateurs… et un bon dessin.

1. Le vocabulaire

Une série statistique est une liste de valeurs numériques. Le nombre total de valeurs est l'effectif total N ; une valeur répétée a un effectif n et une fréquence n ÷ N. Exemple : le nombre de frères et sœurs de 20 élèves.

Frères et sœurs	0	1	2	3	4
Effectif	5	8	4	2	1

2. Où se situe la série ? Les indicateurs de position

La moyenne x̄ : on additionne toutes les valeurs, chacune comptée autant de fois que son effectif, et on divise par N :

x̄ = 5 × 0 + 8 × 1 + 4 × 2 + 2 × 3 + 1 × 420 = 2620 = 1,3

La médiane Me se lit sur la série rangée dans l'ordre croissant : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié supérieures ou égales. Si N est impair, c'est la valeur du milieu ; si N est pair, la moyenne des deux valeurs centrales. Ici N = 20 : les rangs 6 à 13 sont des 1, donc la 10ᵉ et la 11ᵉ valeur valent 1 et Me = 1. Avec 12 frères et sœurs au lieu de 4 pour un élève, la moyenne bondirait à 1,7 et la médiane resterait 1 : elle résiste aux valeurs extrêmes.

Les quartiles : Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales ; Q3, la plus petite telle qu'au moins 75 % le soient. Méthode : calculer N ÷ 4 et 3N ÷ 4, arrondir à l'entier supérieur si besoin, lire la valeur de ce rang. Ici N ÷ 4 = 5 et la 5ᵉ valeur est 0 : Q1 = 0 ; 3N ÷ 4 = 15 et la 15ᵉ valeur est 2 : Q3 = 2.

3. Serrée ou étalée ? Les indicateurs de dispersion

Deux équipes de handball ont marqué, sur 8 matchs, A : 2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 7 ; 9 et B : 0 ; 1 ; 2 ; 5 ; 7 ; 8 ; 8 ; 9. Même moyenne 5, mais A est régulière et B imprévisible.

L'écart interquartile Q3 − Q1 mesure la largeur de la moitié centrale : pour A (rangs 2 et 6), Q1 = 4 et Q3 = 5, écart 1 ; pour B, Q1 = 1 et Q3 = 8, écart 7.

L'écart type σ mesure l'éloignement autour de la moyenne : on calcule la variance V, moyenne des carrés des écarts à la moyenne, puis σ = √V. Pour A, les écarts à 5 sont −3 ; −1 ; −1 ; −1 ; 0 ; 0 ; 2 ; 4 ; la somme de leurs carrés vaut 32, donc V = 32 ÷ 8 = 4 et σ = √4 = 2 buts. Pour B, la somme des carrés des écarts vaut 88 : V = 11 et σ = √11 ≈ 3,3 buts. σ a l'unité des valeurs et se lit sur la calculatrice (mode statistiques).

Propriétés : ajouter une constante à toutes les valeurs décale moyenne, médiane et quartiles sans changer la dispersion ; multiplier par k positif multiplie tous les indicateurs par k.

4. Dessiner la série : le diagramme en boîte

Cinq nombres suffisent : minimum, Q1, médiane, Q3, maximum. Boîte de Q1 à Q3, trait à la médiane, « moustaches » jusqu'aux extrêmes. Pour A : 2 ; 4 ; 4,5 ; 5 ; 9 ; pour B : 0 ; 1 ; 6 ; 8 ; 9.

buts 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A : |-------[=|=]---------------|
B : |---[===================|=======]---|

La boîte contient au moins la moitié des valeurs : étroite, série régulière ; médiane décentrée, asymétrie ; deux boîtes sur la même échelle se comparent d'un coup d'œil.

À retenir

• Moyenne : somme des valeurs pondérées par les effectifs, divisée par N ; sensible aux valeurs extrêmes.
• Médiane : coupe la série rangée en deux ; Q1 et Q3 : plus petites valeurs qui atteignent 25 % et 75 % de la série.
• Dispersion : écart interquartile Q3 − Q1, écart type σ = √(variance), dans l'unité des valeurs.
• Ajouter k décale les positions de k sans changer la dispersion ; multiplier par k (k > 0) multiplie tout par k.
• Diagramme en boîte : minimum, Q1, médiane, Q3, maximum.

★ Pour aller plus loin

En 1973, Francis Anscombe a construit quatre jeux de données de même moyenne, même variance et même droite de tendance… et des nuages de points sans aucun rapport. Moralité : avant de calculer, regarde le graphique.

Quand un journal annonce le « salaire moyen », demande-toi s'il s'agit de la moyenne ou de la médiane : en France, quelques très hauts salaires tirent le salaire moyen nettement au-dessus du salaire médian, qui décrit mieux le salarié « typique ».

Sources pour creuser

• Livres : Darrell Huff, « How to Lie with Statistics » (1954, en anglais) ; Mickaël Launay, « Le Grand Roman des maths » (Flammarion).
• Vidéos : la chaîne YouTube d'Yvan Monka (« maths et tiques »), cherche « Monka médiane quartiles seconde » et « Monka écart type seconde ».
• Institutionnel : lumni.fr (lycée, mathématiques) ; maths-et-tiques.fr (Seconde, Statistiques) ; eduscol.education.fr (programme officiel).