Un seul contre-exemple suffit : les outils du raisonnement mathématique

« Tous les élèves de ma classe ont un téléphone. » Pour prouver que c'est faux, un seul camarade sans téléphone suffit ; pour prouver que c'est vrai, il faut vérifier chaque élève, sans exception. Cette asymétrie entre prouver et réfuter est le cœur de ce cours : quelques outils de raisonnement que tu utilises déjà en débattant ou en jouant à un jeu de logique.

1. Implication, réciproque, équivalence

Une proposition est une phrase soit vraie, soit fausse. Une implication relie deux propositions : « si P, alors Q », notée P ⇒ Q. Exemple vrai : « si un entier est divisible par 4, alors il est pair ».

Sa réciproque Q ⇒ P peut être fausse : « si un entier est pair, alors il est divisible par 4 » est fausse, car 6 est pair sans être divisible par 4. Quand P ⇒ Q et Q ⇒ P sont toutes deux vraies, on écrit P ⇔ Q : P et Q sont équivalentes.

2. Les quantificateurs

Deux symboles écrivent les énoncés généraux : ∀ se lit « pour tout », ∃ se lit « il existe ».

• « ∀ x ∈ ℝ, x² ≥ 0 » : tout réel a un carré positif ou nul. Vrai.
• « ∃ x ∈ ℝ, x² = 2 » : au moins un réel a pour carré 2. Vrai : √2 (et aussi −√2).
• « ∀ x ∈ ℝ, x² ≥ x » : faux, on va voir pourquoi.

3. Le contre-exemple

Pour montrer qu'un énoncé « ∀ x, P(x) » est faux, il suffit d'exhiber un seul x pour lequel P(x) est fausse : un contre-exemple. La raison est précise : la négation de « pour tout x, P(x) » est « il existe x tel que non P(x) » ; et la négation de « il existe x tel que P(x) » est « pour tout x, non P(x) ».

Exemple travaillé : « ∀ x ∈ ℝ, x² ≥ x ». Pour x = 0,5, x² = 0,25 < 0,5 : l'énoncé est réfuté. De même, « tout nombre premier est impair » est faux, car 2 est premier et pair. À l'inverse, mille exemples ne prouvent jamais un « pour tout ».

4. Condition nécessaire, condition suffisante

Quand P ⇒ Q est vraie :

• P est une condition suffisante pour Q : il suffit que P soit vraie pour que Q le soit ;
• Q est une condition nécessaire pour P : si Q est fausse, P ne peut pas être vraie.

Avoir 18 ans est nécessaire pour voter en France, mais pas suffisant : il faut aussi être inscrit sur les listes électorales. Une condition nécessaire et suffisante, c'est une équivalence ⇔.

5. La contraposée

La contraposée de P ⇒ Q est (non Q) ⇒ (non P). Elle est toujours vraie en même temps que l'implication de départ : les deux disent la même chose. Ne la confonds pas avec la réciproque.

Démonstration du programme : « pour tout entier n, si n² est pair, alors n est pair ». Partir de « n² pair » est difficile ; on démontre la contraposée « si n est impair, alors n² est impair ». Si n est impair, n = 2k + 1 avec k entier, et n² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1 : un nombre pair plus 1, donc impair. La contraposée est vraie, donc l'implication de départ aussi.

6. La disjonction de cas

Quand on ne peut pas traiter tous les nombres d'un coup, on les sépare en familles qui couvrent tout. Exemple : « pour tout entier naturel n, n(n + 1) est pair ».

• Cas 1, n pair : n = 2k, donc n(n + 1) = 2k(n + 1), pair.
• Cas 2, n impair : n + 1 est pair, n + 1 = 2k, donc n(n + 1) = 2kn, pair. Tout entier est pair ou impair : la propriété est démontrée.

À retenir

• Un seul contre-exemple réfute un « pour tout » ; aucune liste d'exemples ne le prouve.
• La négation de « ∀ x, P(x) » est « ∃ x, non P(x) », et réciproquement.
• Si P ⇒ Q : P est suffisante pour Q, Q est nécessaire pour P ; P ⇔ Q signifie nécessaire et suffisante.
• La contraposée (non Q) ⇒ (non P) a la même valeur de vérité que P ⇒ Q ; la réciproque, non.
• Disjonction de cas : des familles qui couvrent tout, une conclusion dans chacune.

★ Pour aller plus loin

Un autre outil, le raisonnement par l'absurde : on suppose le contraire de ce qu'on veut démontrer et on aboutit à une contradiction. Ainsi Euclide, vers 300 av. n. è., a prouvé qu'il existe une infinité de nombres premiers, et on prouve que √2 n'est pas une fraction (tu le feras sur ta fiche).

George Boole a montré en 1854 que « vrai » et « faux » se calculent comme 1 et 0 avec ET, OU, NON : tout processeur repose sur cette algèbre, des milliards de portes logiques qui appliquent les règles de ce cours.

Sources pour creuser

• Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths (Flammarion) : l'histoire vivante de la démonstration.
• Apostolos Doxiadis et Christos Papadimitriou, Logicomix (Vuibert) : la naissance de la logique moderne en bande dessinée.
• Raymond Smullyan, Quel est le titre de ce livre ? (Dunod) : des énigmes de logique.
• Chaîne YouTube « Yvan Monka » (site maths-et-tiques.fr) : cherche « contraposée », « contre-exemple » et « quantificateurs ».
• Chaînes YouTube « Micmaths » et « Science étonnante » pour les paradoxes logiques.
• lumni.fr (Seconde, Mathématiques) ; education.gouv.fr, programme de Seconde (BO spécial n° 1 du 22 janvier 2019).