Encadrer, arrondir, mesurer l'écart : la valeur absolue et la distance sur la droite

« Je mesure 1,73 m. » En réalité, personne ne mesure exactement 1,73 m : la toise donne un nombre à un demi-centimètre près. Ton GPS affiche une position « à 5 m près », ta balance de cuisine arrondit au gramme, et π n'a pas de dernière décimale. Dans la vraie vie, un nombre se donne toujours avec une précision. Les mathématiques ont trois outils pour en parler proprement : l'encadrement, l'arrondi et la valeur absolue, qui mesure un écart.

1. Encadrer un réel

Encadrer un réel x, c'est donner deux nombres a et b tels que a ≤ x ≤ b (ou avec des inégalités strictes). L'amplitude de l'encadrement est b − a ; a est une valeur approchée par défaut, b une valeur approchée par excès.

Exemple 1 : encadrer √2. Comme 1,4² = 1,96 < 2 et 1,5² = 2,25 > 2, on a 1,4 < √2 < 1,5, encadrement d'amplitude 0,1. On affine : 1,41² = 1,9881 et 1,42² = 2,0164, donc 1,41 < √2 < 1,42, amplitude 10⁻². Pour 76 = 1,1666…, on écrit 1,166 < 76 < 1,167.

Un encadrement se propage dans un calcul : si 1,41 < √2 < 1,42, alors 2,82 < 2√2 < 2,84 et 4,41 < √2 + 3 < 4,42.

2. Arrondir et tronquer

La troncature coupe l'écriture décimale au rang voulu. L'arrondi regarde le chiffre suivant : s'il est inférieur à 5, on garde ; s'il vaut 5 ou plus, on augmente d'une unité le dernier chiffre conservé.

Exemple 2. 3,4567 arrondi au centième : le chiffre suivant est 6, donc 3,46 ; arrondi au dixième : 3,5 ; troncature au centième : 3,45. Pour 12,995 arrondi au centième, le chiffre suivant est 5 : 13,00. Pour 76 = 1,1666…, l'arrondi au millième est 1,167 et la troncature 1,166 : l'arrondi est celle des deux bornes de l'encadrement qui est la plus proche du nombre. Enfin π = 3,14159… s'arrondit en 3,14 au centième et en 3,1416 au dix-millième.

3. La valeur absolue

La valeur absolue d'un réel x, notée |x|, est définie par : |x| = x si x ≥ 0, et |x| = −x si x < 0. Ainsi |5| = 5, |−5| = 5, |0| = 0 : on « efface le signe ». Propriétés : |x| ≥ 0 pour tout réel x ; |−x| = |x| ; |x| = 0 si et seulement si x = 0 ; et √(x²) = |x|, par exemple √((−3)²) = √9 = 3 = |−3|.

Exemple 3. |2 − √5| : comme √5 ≈ 2,236 > 2, le nombre 2 − √5 est négatif, donc |2 − √5| = −(2 − √5) = √5 − 2 ≈ 0,236. L'équation |x| = 4 a deux solutions, 4 et −4 ; l'équation |x| = −2 n'en a aucune, une valeur absolue n'étant jamais négative.

4. Valeur absolue et distance

Sur une droite graduée, la distance entre deux nombres a et b est |a − b|, qui vaut aussi |b − a|. La distance entre −3 et 5 vaut |−3 − 5| = |−8| = 8 : compte les graduations, il y en a bien 8. En particulier, |x| est la distance de x à 0.

Cette lecture transforme une inégalité en intervalle : |x − a| ≤ r signifie que x est à une distance au plus r de a, donc x ∈ [a − r ; a + r], l'intervalle de centre a et de rayon r. Exemple : |x − 2| ≤ 3 équivaut à −1 ≤ x ≤ 5, soit x ∈ [−1 ; 5]. Dans l'autre sens, [3 ; 7] a pour centre 3 + 72 = 5 et pour rayon 7 − 32 = 2 : il s'écrit |x − 5| ≤ 2. De même, |x − 1| = 4 signifie « x est à la distance 4 de 1 » : x = 5 ou x = −3.

Exemple 4 : la tolérance. Une pièce doit peser 50 g avec une tolérance de 0,2 g. La condition |m − 50| ≤ 0,2 se lit : la masse m est acceptée si elle appartient à [49,8 ; 50,2]. C'est le langage des notices et des contrôles qualité.

À retenir

• Encadrer : a ≤ x ≤ b, amplitude b − a ; arrondir : on regarde le chiffre suivant, 5 ou plus fait monter ; tronquer : on coupe.
• |x| = x si x ≥ 0 et |x| = −x si x < 0 ; |x| ≥ 0 ; |−x| = |x| ; √(x²) = |x|.
• |a − b| est la distance entre a et b sur la droite graduée ; |x| est la distance de x à 0.
• |x − a| ≤ r équivaut à x ∈ [a − r ; a + r], intervalle de centre a et de rayon r ; |x − a| = r a deux solutions, a − r et a + r.

★ Pour aller plus loin

Demande à un ordinateur de calculer 0,1 + 0,2 : en Python, il répond 0,30000000000000004. Les machines calculent en base 2, et 0,1 n'a pas d'écriture finie dans cette base, exactement comme 13 en base 10 : chaque calcul s'arrondit un tout petit peu. En 1991, pendant la guerre du Golfe, un système antimissile Patriot a raté une interception parce que son horloge, qui comptait en dixièmes de seconde arrondis en binaire, avait dérivé d'environ 0,34 seconde après cent heures de fonctionnement.

Au IIIᵉ siècle av. n. è., Archimède a encadré π en coinçant un cercle entre deux polygones à 96 côtés : 22371 < π < 227, soit 3,1408 < π < 3,1429. Aujourd'hui, les ordinateurs connaissent plus de cent mille milliards de décimales de π, mais aucune calculatrice n'en utilise plus d'une quinzaine.

En Première et en Terminale, la valeur absolue devient l'outil central de l'analyse : dire qu'une suite se rapproche d'un nombre L, c'est dire que |uₙ − L| devient aussi petit que l'on veut. La courbe de la fonction x ↦ |x| est un « V » dont la pointe est à l'origine.

Sources pour creuser

• Livres : Jean-Paul Delahaye, Le Fascinant Nombre π (Belin, collection Bibliothèque Pour la Science, 1997) ; Alex Bellos, Alex au pays des chiffres (Robert Laffont, 2011) ; Denis Guedj, Le Théorème du perroquet (Seuil, 1998).
• Vidéos : chaîne YouTube Yvan Monka (site maths-et-tiques.fr), cherche « Valeur absolue Seconde », « Encadrement arrondi Seconde » et « Intervalles Seconde » ; chaîne Micmaths, cherche « pi » pour l'histoire du nombre π.
• Institutionnel : lumni.fr, rubrique Lycée, Mathématiques Seconde ; le programme officiel de Seconde sur eduscol.education.fr.