Puissances, racines carrées et nombres premiers : la boîte à outils du calcul

Dans la mémoire de ton téléphone, tout se compte en puissances de 2 : 1 kio = 2¹⁰ = 1 024 octets. Quand tu paies en ligne, ton numéro de carte est protégé par un code fondé sur le produit de deux nombres premiers de plusieurs centaines de chiffres, que personne ne sait « défaire ». Et la diagonale de ton écran, c'est une racine carrée. Puissances, racines, nombres premiers : trois outils que ce cours te met en main, avec les démonstrations qui vont avec.

1. Les puissances

Pour un réel a et un entier n ≥ 1, aⁿ désigne le produit de n facteurs égaux à a : 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. On pose a¹ = a et, pour a ≠ 0, a⁰ = 1 et a⁻ⁿ = 1aⁿ : ainsi 2⁻³ = 18 = 0,125.

Pour a et b non nuls et m, n entiers relatifs :

• aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (même base : on ajoute les exposants) ;
• aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ (on soustrait les exposants) ;
• (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, c'est-à-dire a élevé à la puissance m × n (puissance de puissance : on multiplie les exposants) ;
• (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ.

Exemple 1. 2³ × 2⁵ = 2⁸ = 256 ; 5⁷5⁴ = 5³ = 125 ; (3²)⁴ = 3⁸ = 6 561. Trois pièges : 2³ × 2⁵ n'est pas 4⁸, la base ne change pas ; 2³ + 2⁵ = 8 + 32 = 40, il n'y a aucune règle pour une somme ; (−2)⁴ = 16 alors que −2⁴ = −16, car l'exposant ne porte que sur le 2.

Écriture scientifique. Un nombre s'écrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 : la distance Terre–Lune, environ 384 000 km, s'écrit 3,84 × 10⁵ km ; 0,000 05 = 5 × 10⁻⁵. Calcul : (3 × 10⁸) × (2 × 10⁻⁵) = 6 × 10³ = 6 000.

2. Les racines carrées

Pour a ≥ 0, √a est le nombre positif dont le carré vaut a : (√a)² = a. √49 = 7, √0,25 = 0,5, √2 ≈ 1,414 (irrationnel). Un nombre strictement négatif n'a pas de racine carrée dans ℝ.

Pour a ≥ 0 et b ≥ 0 : √(a × b) = √a × √b, et si b > 0, √(ab) = √a√b. Attention, il n'y a pas de règle pour une somme : √9 + √16 = 3 + 4 = 7, alors que √(9 + 16) = √25 = 5.

Exemple 2 : simplifier. On fait apparaître un carré parfait : √50 = √(25 × 2) = 5√2 ; √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3. Dans l'autre sens, √8 × √2 = √16 = 4 et (2√3)² = 4 × 3 = 12. Application : la diagonale d'un carré de côté 5 mesure √(5² + 5²) = √50 = 5√2 ≈ 7,07.

3. Arithmétique : diviseurs, parité, nombres premiers

Soit a et b deux entiers, b ≠ 0. b divise a (a est un multiple de b) s'il existe un entier k tel que a = k × b : 7 divise 91 car 91 = 7 × 13. Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12.

Un entier pair s'écrit 2k, un entier impair s'écrit 2k + 1, avec k entier : c'est l'outil des démonstrations. Démonstration au programme : le carré d'un entier impair est impair. Soit n = 2k + 1. Alors n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, qui est bien de la forme 2 × (entier) + 1. Même méthode pour la somme de deux impairs : (2k + 1) + (2m + 1) = 2(k + m + 1), un nombre pair.

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs, 1 et lui-même : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… Le nombre 1 n'est pas premier (un seul diviseur) et 2 est le seul premier pair. Pour tester si n est premier, il suffit d'essayer les diviseurs premiers jusqu'à √n : pour 97, √97 < 10, on essaie 2, 3, 5 et 7, aucun ne divise 97, donc 97 est premier. En revanche 91 = 7 × 13 ne l'est pas.

Décomposition en facteurs premiers. Tout entier supérieur ou égal à 2 s'écrit comme produit de nombres premiers, de façon unique à l'ordre près. On divise successivement : 360 = 2 × 180 = 2² × 90 = 2³ × 45 = 2³ × 3² × 5.

Exemple 3 : rendre une fraction irréductible. 1 008 = 16 × 63 = 2⁴ × 3² × 7 et 360 = 2³ × 3² × 5. Les facteurs communs donnent le plus grand diviseur commun, 2³ × 3² = 72, donc 1 008360 = 145, car 1 008 = 72 × 14 et 360 = 72 × 5.

À retenir

• aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ; aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ ; a⁰ = 1 ; a⁻ⁿ = 1aⁿ.
• √(a × b) = √a × √b, mais √(a + b) n'est pas √a + √b ; on simplifie une racine en sortant un carré parfait.
• Pair = 2k, impair = 2k + 1 : la forme qui permet de démontrer.
• Un nombre premier a exactement deux diviseurs ; 1 n'est pas premier ; on teste les diviseurs premiers jusqu'à √n.
• La décomposition en facteurs premiers est unique : elle donne les diviseurs communs et les fractions irréductibles.

★ Pour aller plus loin

Vers 300 av. n. è., Euclide a démontré qu'il existe une infinité de nombres premiers : prends une liste finie de nombres premiers, multiplie-les tous et ajoute 1 ; le résultat n'est divisible par aucun nombre de la liste, donc ses facteurs premiers sont nouveaux. Le plus grand nombre premier connu en 2024, 2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹ − 1, compte plus de 41 millions de chiffres.

Le chiffrement RSA, inventé en 1977, repose sur une dissymétrie : multiplier deux nombres premiers de 300 chiffres prend une fraction de seconde, mais retrouver ces facteurs à partir du produit demanderait des milliards d'années aux ordinateurs actuels. C'est ce « cadenas » qui sécurise tes paiements en ligne.

Des questions toutes simples restent ouvertes. La conjecture de Goldbach (1742) affirme que tout entier pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers : 28 = 5 + 23, 100 = 3 + 97. Vérifiée par ordinateur jusqu'à 4 × 10¹⁸, elle n'est toujours pas démontrée, pas plus que l'existence d'une infinité de « premiers jumeaux » écartés de 2, comme 11 et 13.

Sources pour creuser

• Livres : Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths (Flammarion, 2016) ; Apostolos Doxiadis, Oncle Petros et la conjecture de Goldbach (roman, Christian Bourgois, 2000) ; Marcus du Sautoy, La Symphonie des nombres premiers (Héloïse d'Ormesson, 2005), plus exigeant.
• Vidéos : chaîne YouTube Yvan Monka (site maths-et-tiques.fr), cherche « Puissances Seconde », « Racines carrées Seconde » et « Nombres premiers Seconde » ; chaîne Micmaths, vidéo « La face cachée des tables de multiplication » et, en recherche, « nombres premiers ».
• Institutionnel : lumni.fr, rubrique Lycée, Mathématiques Seconde ; le programme officiel de Seconde sur eduscol.education.fr.