Entiers, décimaux, rationnels, réels : la grande famille des nombres et ses intervalles

Regarde un ticket de caisse : 1,99 €, 12,50 €. Partage une pizza en trois : chacun en a un tiers, et ta calculatrice affiche 0,3333333… sans jamais s'arrêter. Tape √2 : 1,414213562…, là non plus pas de fin, et même pas de motif qui se répète. Ces nombres ne se ressemblent pas, et les mathématiciens les ont rangés dans des ensembles emboîtés comme des poupées russes. Savoir dans quelle « boîte » vit un nombre, le prouver, puis décrire des « zones » de nombres avec des intervalles : voilà le programme de ce cours.

1. Cinq ensembles emboîtés

• ℕ, les entiers naturels : 0, 1, 2, 3, … (ℕ* désigne le même ensemble sans le 0).
• ℤ, les entiers relatifs : …, −2, −1, 0, 1, 2, …
• 𝔻, les nombres décimaux : ceux qui peuvent s'écrire a10ⁿ avec a ∈ ℤ et n ∈ ℕ. Leur écriture décimale est finie : 2,75 = 275100, et aussi 7 = 71 (avec n = 0).
• ℚ, les nombres rationnels : les quotients pq avec p ∈ ℤ et q ∈ ℕ*. Par exemple 13, −74, et 2,75 = 114.
• ℝ, les nombres réels : tous les nombres que l'on peut placer sur une droite graduée. Ceux qui ne sont pas rationnels sont dits irrationnels : √2, √3, π.

Ces ensembles s'emboîtent : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Tout entier est décimal, tout décimal est rationnel, mais la réciproque est fausse à chaque étage. On écrit x ∈ ℚ, « x appartient à ℚ », et x ∉ 𝔻, « x n'appartient pas à 𝔻 ».

Réflexe : simplifier avant de classer. √16 = 4, donc √16 ∈ ℕ. −64 = −1,5 appartient à 𝔻 mais pas à ℤ. Le « plus petit ensemble » auquel appartient un nombre est la boîte la plus intérieure qui le contient.

2. Décimal ou pas ? Le critère, puis la démonstration

Prouver qu'un nombre est décimal, c'est exhiber l'écriture a10ⁿ. Exemple : 74 = 7 × 254 × 25 = 175100 = 1,75. On a multiplié haut et bas par 25 pour faire apparaître une puissance de 10.

Le critère. Une fraction irréductible pq est un nombre décimal si et seulement si le dénominateur q n'a pas d'autre facteur premier que 2 et 5 : si q = 2ᵃ × 5ᵇ, on complète toujours en une puissance de 10. Exemple : 2160 = 720 et 20 = 2² × 5, donc 720 = 35100 = 0,35. En revanche 712 : 12 = 2² × 3, le facteur 3 bloque, et la calculatrice confirme 0,58333…

La démonstration au programme : 13 n'est pas décimal. On raisonne par l'absurde. Supposons que 13 soit décimal : il existe un entier a et un entier naturel n tels que 13 = a10ⁿ. Par produit en croix, 10ⁿ = 3a : donc 3 divise 10ⁿ. Or 10ⁿ = 2ⁿ × 5ⁿ n'a que 2 et 5 comme facteurs premiers, et 3 est premier : il ne peut pas diviser 10ⁿ. Contradiction, donc 13 ∉ 𝔻. Le même schéma fonctionne pour 27 ou 415.

Et la calculatrice ? Un écran ne prouve rien : 1 ÷ 7 affiche 0,142857143, qui ressemble à une écriture finie, mais c'est un arrondi, le vrai quotient répète le bloc 142857 sans fin. Seule une démonstration tranche.

3. Les intervalles : décrire une zone de la droite

Pour a < b, l'intervalle [a ; b] est l'ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b. Un crochet tourné vers l'intérieur signifie « borne comprise » (intervalle fermé), vers l'extérieur « borne exclue » (ouvert) :

• [−2 ; 5[ : les réels x tels que −2 ≤ x < 5 ; −2 est dedans, 5 est dehors.
• ]0 ; 1[ : les réels strictement compris entre 0 et 1.
• [3 ; +∞[ : les réels x ≥ 3 ; ]−∞ ; 4] : les réels x ≤ 4. L'infini n'est pas un nombre : de son côté, le crochet est toujours ouvert, et ℝ s'écrit ]−∞ ; +∞[.

Exemple 1. « La vitesse v est limitée à 50 km/h » se traduit par v ∈ [0 ; 50] ; « être majeur », c'est-à-dire avoir 18 ans ou plus, par âge ∈ [18 ; +∞[ ; « une température strictement négative » par T ∈ ]−∞ ; 0[.

Exemple 2 : combiner. L'intersection [−3 ; 5] ∩ ]1 ; 8[ contient les nombres présents dans les deux intervalles à la fois : c'est ]1 ; 5]. La réunion [0 ; 2] ∪ [1 ; 6[ contient les nombres présents dans l'un au moins : c'est [0 ; 6[. Dessine les deux intervalles l'un sous l'autre sur une droite graduée, l'erreur devient impossible.

À retenir

• ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ ; on simplifie un nombre avant de chercher sa plus petite boîte.
• Décimal = écriture a10ⁿ ; une fraction irréductible est décimale si et seulement si son dénominateur n'a que 2 et 5 comme facteurs premiers.
• 13 n'est pas décimal : si 13 = a10ⁿ, alors 10ⁿ = 3a, impossible car 3 ne divise aucune puissance de 10.
• √2 et π sont irrationnels : aucun quotient d'entiers ne leur est égal.
• Intervalle : crochet vers l'intérieur = borne comprise ; du côté de ∞, toujours ouvert.

★ Pour aller plus loin

Au Vᵉ siècle av. n. è., les pythagoriciens pensaient que tout se ramenait à des rapports d'entiers. Découvrir que la diagonale d'un carré de côté 1, c'est-à-dire √2, n'est le quotient d'aucun couple d'entiers fut un choc : une légende, invérifiable, raconte que celui qui l'avait révélée, Hippase de Métaponte, aurait péri noyé. Cette démonstration, qui est au programme de Seconde, tient en cinq lignes : tu la reconstruiras pas à pas sur ta fiche.

Les écritures décimales illimitées mais périodiques sont toutes des rationnels : si x = 0,272727…, alors 100x − x = 27, donc x = 2799 = 311. Avec la même astuce, 0,999… = 1 exactement.

En 1874, Georg Cantor a démontré qu'il y a « infiniment plus » de réels que de rationnels : on peut numéroter tous les rationnels un par un, jamais tous les réels. En 1882, Ferdinand von Lindemann a prouvé que π est transcendant, solution d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers : c'est pour cela que la quadrature du cercle à la règle et au compas est impossible.

Sources pour creuser

• Livres : Denis Guedj, Le Théorème du perroquet (Seuil, 1998), un roman policier à travers l'histoire des nombres ; Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths (Flammarion, 2016).
• Vidéos : chaîne YouTube Yvan Monka (site maths-et-tiques.fr), cherche « Ensembles de nombres Seconde » et « Intervalles Seconde » ; chaîne Micmaths de Mickaël Launay, cherche « nombres irrationnels » et « infini ».
• Institutionnel : lumni.fr, rubrique Lycée, Mathématiques Seconde ; le programme officiel de Seconde sur eduscol.education.fr.