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Le plan quadrillé : coordonnées et vecteurs à l'attaque

Seconde · Mathématiques · environ 15 min

Tu joues à un jeu vidéo. Ton personnage est à un point précis de la carte, et tu veux le déplacer de trois cases à droite et deux vers le haut. Ce déplacement, en maths, c'est un vecteur. Et la carte, avec ses coordonnées, c'est le plan repéré. Aujourd'hui, tu vas apprendre à décrire n'importe quelle position et n'importe quel mouvement avec des chiffres. C'est la géométrie des GPS, des jeux et des ingénieurs !

1. Se repérer dans le plan

Un repère est composé de deux axes perpendiculaires : l'axe des abscisses (horizontal, noté x) et l'axe des ordonnées (vertical, noté y). Chaque point a des coordonnées (x ; y).

La droite numérique Une règle graduée de zéro à dix ; un repère orange marque le nombre six. 024 6810 6
Un repère avec deux axes perpendiculaires et des points repérés par leurs coordonnées

Exemple : Le point A(3 ; 2) se trouve à 3 vers la droite et 2 vers le haut à partir de l'origine O(0 ; 0).

2. Distances et milieux

Pour deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) :

Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées :

M(x_A+x_B2 ; y_A+y_B2)

La distance AB (grâce à Pythagore) :

AB = √(x_B-x_A)² + (y_B-y_A)²

Exemple : Avec A(1 ; 2) et B(4 ; 6) :

  • Milieu : M(1+42 ; 2+62) = M(2,5 ; 4)
  • Distance : AB = √(4-1)² + (6-2)² = √9+16 = √25 = 5

3. Les vecteurs : décrire un déplacement

Les vecteurs Trois points A, B et C sur un quadrillage. Une flèche orange va de A à B, une flèche bleue va de B à C. Une flèche verte en pointillés va directement de A à C : c'est la somme des deux, la relation de Chasles AB + BC = AC. Un vecteur possède une direction, un sens donné par sa pointe, et une norme égale à sa longueur. Le vecteur AB se lit aussi par ses coordonnées : quatre vers la droite, deux vers le haut. ABC AB (4 ; 2) direction · sens (pointe) · norme (longueur) AB + BC = AC (relation de Chasles)
Le vecteur AB représente le déplacement de A vers B avec ses coordonnées (3 ; 4)

Un vecteur AB représente le déplacement du point A vers le point B. Ses coordonnées sont :

AB (x_B - x_A ; y_B - y_A)

Exemple : Avec A(1 ; 2) et B(4 ; 6) :

AB (4 - 1 ; 6 - 2) = (3 ; 4)

On avance de 3 vers la droite et de 4 vers le haut.

Astuce importante : Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées. Si AB = DC, alors ABCD est un parallélogramme !

4. Un mélange concret : le hasard sur une grille

Imagine une grille de jeu 3×3 (9 cases). Tu choisis une case au hasard. La probabilité de tomber sur une case donnée est 19. Les maths du plan et celles du hasard travaillent ensemble pour analyser des situations réelles.

À retenir

  • Un point se repère par ses coordonnées (x ; y).
  • Milieu de [AB] : (x_A+x_B2 ; y_A+y_B2).
  • Distance : AB = √(x_B-x_A)² + (y_B-y_A)².
  • Coordonnées de AB : (x_B - x_A ; y_B - y_A).
  • AB = DC ⇔ ABCD est un parallélogramme.

Corrections

Exercice 1 :

  • Milieu : (2+62 ; -1+52) = (4 ; 2).
  • Distance : CD = √(6-2)² + (5-(-1))² = √16+36 = √52 ≈ 7,2.

Exercice 2 : EF (2 - (-1) ; -1 - 3) = (3 ; -4). On avance de 3 à droite et 4 vers le bas.

Exercice 3 : D'abord AB (3 - 0 ; 2 - 1) = (3 ; 1). Comme AB = DC : (x_C - x_D ; y_C - y_D) = (3 ; 1). Donc 4 - x_D = 3 soit x_D = 1, et 5 - y_D = 1 soit y_D = 4. D(1 ; 4).

Bravo, tu maîtrises maintenant le langage secret des positions et des mouvements ! ◎