Exponentielle : la fonction qui est sa propre dérivée

Plus une vidéo a de vues, plus elle est partagée, donc plus elle gagne de vues. Bactéries et intérêts composés suivent la même logique : la vitesse de croissance est proportionnelle à la quantité elle-même. La plus simple des fonctions qui les modélisent, celle dont la vitesse de croissance égale la valeur, s'appelle la fonction exponentielle.

1. Définition

Théorème (admis). Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f′ = f et f(0) = 1. On l'appelle la fonction exponentielle et on la note exp.

Ainsi exp(0) = 1 et exp′(x) = exp(x) : en chaque point de la courbe, la pente de la tangente égale l'ordonnée.

2. La relation fonctionnelle

Propriété 1. Pour tout réel x, exp(x) × exp(−x) = 1.

Démonstration. Soit φ(x) = exp(x) × exp(−x). La dérivée de x ↦ exp(−x) est x ↦ −exp(−x) (règle de g(ax + b) avec a = −1), donc, en dérivant un produit, φ′(x) = exp(x) × exp(−x) + exp(x) × (−exp(−x)) = 0. φ est donc constante, égale à φ(0) = 1. ∎

Conséquences : exp ne s'annule jamais, et exp(−x) = 1exp(x).

Propriété 2 (relation fonctionnelle). Pour tous réels x et y, exp(x + y) = exp(x) × exp(y).

Démonstration. Fixons y et posons g(x) = exp(x + y) × exp(−x). Alors g′(x) = exp(x + y) × exp(−x) − exp(x + y) × exp(−x) = 0 : g est constante, égale à g(0) = exp(y). Donc exp(x + y) × exp(−x) = exp(y) ; en multipliant par exp(x) et grâce à la propriété 1, exp(x + y) = exp(x) × exp(y). ∎

On en déduit exp(x − y) = exp(x)exp(y) et, pour tout entier n, exp(nx) = (exp(x))ⁿ. En particulier, la suite (exp(na)) est géométrique de raison exp(a).

On note e = exp(1) ≈ 2,718 et, pour tout réel x, eˣ = exp(x). Les règles deviennent celles des puissances : e³ × e⁻⁵ = e⁻² ; (e²)⁴ = e⁸.

Exemple 1. Simplifions A = exp(3x) × exp(−x)exp(x + 1). Le numérateur vaut exp(3x − x) = exp(2x), puis A = exp(2x − (x + 1)) = exp(x − 1).

3. Signe et sens de variation

Pour tout réel x, exp(x) = exp(x2 + x2) = (exp(x2))², donc exp(x) ≥ 0 ; comme exp ne s'annule pas, exp(x) > 0. Puisque exp′ = exp > 0, la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

Sa courbe passe par (0 ; 1), où sa tangente est la droite y = x + 1 ; elle frôle l'axe des abscisses à gauche et s'envole à droite.

Pour un réel k, la dérivée de t ↦ exp(kt) est t ↦ k × exp(kt) : la fonction est croissante si k > 0, décroissante si k < 0 (radioactivité, élimination d'un médicament).

Exemple 2. f(x) = (x − 1)eˣ. On dérive un produit : f′(x) = 1 × eˣ + (x − 1) × eˣ = x eˣ. Comme eˣ > 0, f′(x) a le signe de x : f est décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[, et son minimum vaut f(0) = −1.

4. Équations et inéquations

La fonction exp étant strictement croissante, pour tous réels a et b :

• exp(a) = exp(b) équivaut à a = b ;
• exp(a) < exp(b) équivaut à a < b.

Méthode : écrire chaque membre sous la forme exp(…), puis comparer les contenus.

Exemple 3. exp(2x − 1) = exp(x + 3) équivaut à 2x − 1 = x + 3, soit x = 4.

Exemple 4. exp(2x) = 1e = exp(−1) donne 2x = −1, soit x = −0,5.

Exemple 5. exp(x²) < exp(2x + 3) équivaut à x² − 2x − 3 < 0. Le trinôme a pour racines −1 et 3 et il est négatif entre elles : S = ]−1 ; 3[.

Attention : eˣ = −2 n'a aucune solution, puisque eˣ > 0. Pour résoudre eˣ = 5, il faudra le logarithme népérien (Terminale).

À retenir

• exp est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que exp′ = exp et exp(0) = 1 ; e = exp(1) ≈ 2,718 et eˣ = exp(x).
• exp(x + y) = exp(x) × exp(y) ; exp(−x) = 1exp(x) ; exp(x − y) = exp(x)exp(y) ; exp(nx) = (exp(x))ⁿ.
• Pour tout réel x, exp(x) > 0 ; exp est strictement croissante sur ℝ ; la dérivée de exp(kx) est k × exp(kx).
• exp(a) = exp(b) équivaut à a = b, et exp(a) < exp(b) équivaut à a < b.

★ Pour aller plus loin

Jacques Bernoulli rencontre le nombre e en 1683 en étudiant les intérêts composés. Place 1 € à 100 % par an : si les intérêts sont ajoutés une fois dans l'année, tu as 2 €. Ajoutés chaque mois au taux d'un douzième de 100 %, ils donnent (1 + 112)¹² ≈ 2,613 € ; chaque jour, (1 + 1365)³⁶⁵ ≈ 2,715 €. Plus on découpe, plus on approche e ≈ 2,71828 €. Leonhard Euler a popularisé la lettre e au XVIIIᵉ siècle.

Puisque exp′ = exp, exp(x + h) ≈ exp(x) × (1 + h) pour un petit pas h : en répétant ce calcul depuis exp(0) = 1, on obtient des valeurs approchées (méthode d'Euler, programmée dans ta fiche).

Sources pour creuser

• Livres : Mickaël Launay, « Le grand roman des maths » (Flammarion, 2016) ; Eli Maor, « e: The Story of a Number » (Princeton University Press, 1994, en anglais).
• Vidéos : chaîne YouTube « Yvan Monka » (cherche « fonction exponentielle Monka ») ; chaîne « Les Bons Profs » (cherche « exponentielle Les Bons Profs »).
• Institutionnel : lumni.fr (lycée, mathématiques) ; eduscol.education.fr (programme de spécialité de Première).