Cosinus et sinus deviennent des fonctions : périodicité, parité et équations

La tension de la prise électrique, la note d'une guitare, la marée dans un port : tous ces phénomènes se répètent à intervalles réguliers. En France, la tension du secteur fait 50 allers-retours par seconde. Le modèle mathématique de base de ces phénomènes périodiques, ce sont les fonctions cosinus et sinus.

1. Deux fonctions définies sur R

Au cours précédent, tu as associé à chaque réel x le point M(x) du cercle trigonométrique, d'abscisse cos x et d'ordonnée sin x. On obtient deux fonctions définies sur R : cos : x ↦ cos x et sin : x ↦ sin x, à valeurs dans [−1 ; 1].

2. La périodicité

Les réels x et x + 2π ont le même point image, donc pour tout réel x :

cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x

On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π. Graphiquement, leur courbe est inchangée par une translation horizontale de 2π : il suffit de la tracer sur un intervalle de longueur 2π, par exemple [−π ; π], puis de recopier ce motif.

Sur cette illustration de physique, le motif se répète tous les λ (la longueur d'onde) ; pour les courbes de cosinus et de sinus, il se répète tous les 2π.

Exemple 1. cos 25π3 = cos(π3 + 4 × 2π) = cos π3 = 12.

3. La parité

Une fonction f définie sur R est paire si f(−x) = f(x) pour tout x : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est impaire si f(−x) = −f(x) pour tout x : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine O.

Le point M(−x) est le symétrique de M(x) par rapport à l'axe des abscisses : même abscisse, ordonnée opposée. Donc cos(−x) = cos x et sin(−x) = −sin x : la fonction cosinus est paire, la fonction sinus est impaire. Avec la périodicité, il suffit donc d'étudier ces fonctions sur [0 ; π] : la symétrie donne [−π ; 0], puis les translations donnent tout R.

4. Variations et courbes

Quand x va de 0 à π, M(x) parcourt le demi-cercle supérieur de I(1 ; 0) jusqu'au point (−1 ; 0). Son abscisse diminue de 1 à −1 : cosinus est strictement décroissante sur [0 ; π]. Son ordonnée monte de 0 à 1, atteint en π2, puis redescend à 0 : sinus est croissante sur [0 ; π2] et décroissante sur [π2 ; π]. Par parité, on obtient les tableaux sur [−π ; π] :

x	−π		0		π
cos x	−1	↗	1	↘	−1

x	−π		−π2		π2		π
sin x	0	↘	−1	↗	1	↘	0

Les deux courbes, appelées sinusoïdes, ont la même forme de vague : celle du cosinus est celle du sinus décalée de π2 vers la gauche, car cos x = sin(x + π2).

5. Résoudre cos x = a et sin x = a

Si a > 1 ou a < −1, il n'y a aucune solution. Sinon, on trace sur le cercle la droite verticale d'abscisse a (pour le cosinus) ou la droite horizontale d'ordonnée a (pour le sinus), puis on lit les points d'intersection. On retient, pour k entier relatif :

• cos x = cos α équivaut à x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ ;
• sin x = sin α équivaut à x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ.

Exemple 2. Dans ]−π ; π], cos x = 12 = cos π3 donne x = π3 ou x = −π3. Dans R, les solutions sont les réels π3 + 2kπ et −π3 + 2kπ.

Exemple 3. Dans [0 ; 2π[, résolvons sin x = −√22 = sin(−π4). Les solutions dans R sont −π4 + 2kπ et π + π4 + 2kπ = 5π4 + 2kπ. Dans [0 ; 2π[, on garde 5π4 et −π4 + 2π = 7π4.

Exemple 4. Pour cos x = 0,3, aucune valeur remarquable : la calculatrice, en mode radian, donne cos⁻¹(0,3) ≈ 1,266. Dans ]−π ; π], les solutions sont x ≈ 1,266 et x ≈ −1,266.

Une inéquation se lit aussi sur le cercle : dans ]−π ; π], cos x ≥ 12 équivaut à −π3 ≤ x ≤ π3.

À retenir

• Cosinus et sinus sont définies sur R, à valeurs dans [−1 ; 1], périodiques de période 2π.
• Cosinus est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées), sinus est impaire (symétrique par rapport à O).
• Sur [0 ; π], cosinus décroît de 1 à −1 ; sinus croît de 0 à 1 sur [0 ; π2], puis décroît jusqu'à 0.
• cos x = cos α ⟺ x = α + 2kπ ou −α + 2kπ ; sin x = sin α ⟺ x = α + 2kπ ou π − α + 2kπ.

★ Pour aller plus loin

En Terminale, tu dériveras ces fonctions : la dérivée de sinus est cosinus, et celle de cosinus est l'opposé de sinus.

En 1822, Joseph Fourier publie sa « Théorie analytique de la chaleur », où il décompose des fonctions en sommes de sinusoïdes. Cette idée est au cœur du traitement du son : compression MP3, égaliseurs, spectrogrammes utilisés par les applications qui reconnaissent une musique.

Les « 230 volts » de la prise sont une valeur efficace : la tension oscille en réalité entre environ −325 V et 325 V, car 230 × √2 ≈ 325.

Sources pour creuser

• Livres : Mickaël Launay, « Le Théorème du parapluie » (Flammarion) ; Mickaël Launay, « Le Grand Roman des maths » (Flammarion).
• Vidéos : chaîne YouTube « Yvan Monka », cherche « Monka fonctions cosinus sinus » et « Monka équation trigonométrique ».
• Institutionnel : lumni.fr (lycée, mathématiques) ; maths-et-tiques.fr ; eduscol.education.fr (programme de Première).