Variable aléatoire : prévoir la moyenne et mesurer le risque

À la fête du lycée, un stand affiche : « Mise : 2 €. Lance le dé ! Un 6 : on te donne 8 €. Un 4 ou un 5 : on te rend ta mise. » Faut-il jouer ? On ne peut pas prédire une partie, mais on peut prévoir ce qui se passe en moyenne sur un grand nombre de parties, et mesurer le risque.

1. Une variable aléatoire est une fonction

L'ensemble des issues d'une expérience aléatoire est l'univers Ω. Une variable aléatoire X associe un nombre réel à chaque issue : c'est une fonction définie sur Ω, à valeurs dans ℝ.

Au stand, Ω = {1 ; 2 ; … ; 6} et X est le gain algébrique du joueur (ce qu'il reçoit moins sa mise) : X(6) = 8 − 2 = 6 ; X(4) = X(5) = 2 − 2 = 0 ; X(1) = X(2) = X(3) = −2.

Notations : {X = 0} est l'événement « X prend la valeur 0 », ici {4 ; 5}. P(X = 0) est sa probabilité ; P(X ≤ 0) est la probabilité de gagner au plus 0 €.

2. La loi de probabilité

La loi de X donne chaque valeur xᵢ prise par X et sa probabilité pᵢ = P(X = xᵢ), souvent dans un tableau ; la somme des pᵢ vaut 1.

Valeur xᵢ	−2	0	6
P(X = xᵢ)	12	13	16

On lit P(X ≤ 0) = 12 + 13 = 56 : on ne gagne rien cinq fois sur six.

3. L'espérance : la moyenne à long terme

Si X prend les valeurs x₁, …, xₙ avec les probabilités p₁, …, pₙ, son espérance est :

E(X) = p₁x₁ + p₂x₂ + … + pₙxₙ.

Au stand : E(X) = 12 × (−2) + 13 × 0 + 16 × 6 = −1 + 0 + 1 = 0.

Interprétation. Sur un très grand nombre de parties, le gain moyen par partie se rapproche de E(X). Ici, E(X) = 0 : le jeu est équitable ; une espérance de gain négative le rendrait défavorable au joueur, une espérance positive, favorable. Attention : E(X) n'est pas le gain d'une partie, ni forcément une valeur prise par X.

4. Variance et écart-type : mesurer le risque

La variance est la moyenne, pondérée par les probabilités, des carrés des écarts à l'espérance ; l'écart-type est sa racine carrée :

V(X) = p₁(x₁ − E(X))² + … + pₙ(xₙ − E(X))² et σ(X) = √V(X).

Formule de König-Huygens : V(X) = E(X²) − (E(X))², où E(X²) = p₁x₁² + … + pₙxₙ².

Au stand : comme E(X) = 0, V(X) = 12 × (−2)² + 13 × 0² + 16 × 6² = 2 + 0 + 6 = 8, donc σ(X) = √8 ≈ 2,83 €.

Même espérance, risque différent. Un second stand propose : « Mise : 2 €. Lance deux dés ; un double six : on te donne 72 €. » Le gain Y vaut 70 avec la probabilité 136 et −2 avec la probabilité 3536.

• E(Y) = 136 × 70 + 3536 × (−2) = 0 : équitable aussi.
• V(Y) = 136 × 70² + 3536 × (−2)² = 4900 + 14036 = 140, donc σ(Y) = √140 ≈ 11,83 €.

Les deux jeux sont équitables, mais Y est bien plus dispersé : on perd presque toujours 2 €, et très rarement on gagne gros. L'écart-type, dans la même unité que la variable, mesure cette dispersion : c'est un indicateur de risque.

À retenir

• Une variable aléatoire X est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de l'univers Ω.
• Sa loi : les valeurs xᵢ et leurs probabilités pᵢ = P(X = xᵢ), dont la somme vaut 1.
• E(X) = p₁x₁ + … + pₙxₙ : la moyenne des valeurs observées sur un grand nombre de répétitions s'en rapproche ; un jeu est équitable quand l'espérance du gain est nulle.
• V(X) = p₁(x₁ − E(X))² + … + pₙ(xₙ − E(X))² = E(X²) − (E(X))² et σ(X) = √V(X) : plus σ(X) est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de E(X).

★ Pour aller plus loin

En 1654, Blaise Pascal et Pierre de Fermat échangent des lettres sur le « problème des partis » : comment partager les mises d'un jeu interrompu ? En 1657, Christiaan Huygens publie un traité sur les jeux de hasard où apparaît l'idée d'espérance. Jacques Bernoulli démontre ensuite la première loi des grands nombres (Ars Conjectandi, publié en 1713) : quand on répète l'expérience, la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité.

Loteries, jeux à gratter, casinos : l'espérance de gain du joueur y est négative, c'est ce qui paie l'organisateur. L'assuré, lui, accepte une petite perte moyenne pour supprimer un risque rare mais énorme.

L'espérance ne suffit pas toujours à décider : dans le paradoxe de Saint-Pétersbourg, étudié par Daniel Bernoulli en 1738, un jeu a une espérance infinie, mais personne ne paierait une fortune pour y jouer.

Sources pour creuser

• Livres : Ivar Ekeland, « Au hasard. La chance, la science et le monde » (Seuil, 1991) ; David Ruelle, « Hasard et chaos » (Odile Jacob, 1991).
• Vidéos : chaîne YouTube « Yvan Monka » (cherche « variable aléatoire espérance Monka ») ; chaîne « Les Bons Profs » (cherche « espérance variance Les Bons Profs »).
• Institutionnel : lumni.fr (lycée, mathématiques) ; eduscol.education.fr (programme de spécialité de Première).