Le cercle trigonométrique : radians, enroulement et valeurs remarquables

Dans une grande roue, ta hauteur dépend de l'angle dont la roue a tourné, et tu repasses au même endroit à chaque tour. Pour décrire ces mouvements qui reviennent toujours au même point, il suffit d'un cercle de rayon 1 et d'une nouvelle unité d'angle : le radian.

1. Le cercle trigonométrique et l'enroulement de la droite

Dans un repère orthonormé (O ; I, J), le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct : le sens inverse des aiguilles d'une montre. Son périmètre vaut 2π.

Imagine la droite des réels comme un mètre ruban tangent au cercle en I, son zéro en I, que tu enroules autour du cercle : la partie positive dans le sens direct, la partie négative dans l'autre. Chaque réel x vient se poser sur un unique point M(x) du cercle, la longueur de ruban enroulée de I jusqu'à M(x) valant |x|. Un tour complet mesure 2π, donc x et x + 2kπ (k entier relatif) ont le même point image. Ainsi π2 donne J, π donne le point (−1 ; 0) et 2π ramène en I.

2. Le radian

Un radian est la mesure d'un angle au centre qui intercepte un arc de longueur égale au rayon. Sur le cercle trigonométrique, pour 0 ≤ x ≤ π, l'angle IOM(x) mesure x radians. Un tour complet mesure 360°, soit 2π radians, donc π rad = 180°, et les mesures sont proportionnelles :

mesure en radians = mesure en degrés × π180

Degrés	0	30	45	60	90	120	135	150	180
Radians	0	π6	π4	π3	π2	2π3	3π4	5π6	π

Exemple 1. 210° = 210 × π180 = 7π6 rad. Dans l'autre sens, 5π12 rad = 5 × 18012 = 75°. Et 1 rad = 180π ≈ 57,3°.

Parmi les réels associés à un même point, un seul appartient à ]−π ; π] : c'est la mesure principale. Exemple 2. 17π3 = 6π − π3 = 3 × 2π − π3 : sa mesure principale est −π3.

3. Cosinus et sinus d'un réel

Pour tout réel x, cos x est l'abscisse et sin x l'ordonnée du point M(x). Conséquences immédiates :

• −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1 ;
• cos² x + sin² x = 1, car OM² = 1 ;
• cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x.

Pour 0 < x < π2, si H est le projeté de M(x) sur (OI), le triangle OHM est rectangle en H et cos x = OHOM = OH : c'est le cosinus du collège.

Démonstrations des valeurs remarquables.

• M(π4) est au milieu de l'arc de I à J, qui mesure π2 : il est sur la bissectrice de l'angle IOJ, la droite y = x, donc cos π4 = sin π4 = c, avec c > 0. Alors c² + c² = 1, donc c² = 12 et c = 1√2 = √22.
• Le triangle OIM, avec M = M(π3), est isocèle en O (OI = OM = 1) et son angle en O mesure π3 rad, soit 60° : il est équilatéral. Sa hauteur issue de M, de pied H, est aussi une médiane : H est le milieu de [OI] et cos π3 = OH = 12. Puis sin² π3 = 1 − 14 = 34, et comme sin π3 > 0, sin π3 = √32.
• M(π6) est le symétrique de M(π3) par rapport à la droite y = x, qui échange abscisse et ordonnée : cos π6 = √32 et sin π6 = 12.

x	0	π6	π4	π3	π2
cos x	1	√32	√22	12	0
sin x	0	12	√22	√32	1

4. Les angles associés

Les symétries du cercle donnent le reste :

• M(−x) est le symétrique de M(x) par rapport à l'axe des abscisses : cos(−x) = cos x et sin(−x) = −sin x ;
• M(π − x), par rapport à l'axe des ordonnées : cos(π − x) = −cos x et sin(π − x) = sin x ;
• M(π + x), par rapport à O : cos(π + x) = −cos x et sin(π + x) = −sin x.

Exemple 3. 5π6 = π − π6, donc cos 5π6 = −√32 et sin 5π6 = 12. De même 7π6 = π + π6 donne cos 7π6 = −√32 et sin 7π6 = −12. Dessine toujours le cercle : il donne les signes.

À retenir

• Cercle trigonométrique : centre O, rayon 1, sens direct ; x et x + 2kπ ont le même point image.
• π rad = 180° ; on convertit par proportionnalité. La mesure principale est dans ]−π ; π].
• cos x et sin x sont l'abscisse et l'ordonnée de M(x), et cos² x + sin² x = 1.
• Valeurs remarquables en π6, π4, π3 ; les angles associés s'en déduisent par symétrie.

★ Pour aller plus loin

Pourquoi 360° ? On l'attribue souvent à l'astronomie babylonienne, qui comptait en base 60. Le radian, lui, n'a rien d'arbitraire : c'est le rayon reporté sur le cercle. Le mot apparaît imprimé en 1873, dans des sujets d'examen de James Thomson, frère de Lord Kelvin.

Pour un petit angle mesuré en radians, sin x ≈ x : sin(0,1) ≈ 0,0998. Les physiciens s'en servent pour étudier le pendule.

Sources pour creuser

• Livres : Mickaël Launay, « Le Grand Roman des maths » (Flammarion) ; Denis Guedj, « Le Mètre du monde » (Seuil), la mesure du méridien par les angles.
• Vidéos : chaîne YouTube « Yvan Monka », cherche « Monka cercle trigonométrique » et « Monka valeurs remarquables cosinus sinus ».
• Institutionnel : lumni.fr (lycée, mathématiques) ; maths-et-tiques.fr ; eduscol.education.fr (programme de Première).